Упр.46.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения:

а) $$y=\sqrt{(x-1)(10-x)}$$; б) $$y=\sqrt{(x+2)(4-x)}$$; в) $$y=\sqrt{(2x-6)(7-x)}$$; г) $$y=\sqrt{(5-x)(x-3)}$$.

Для функции вида $$y=\sqrt{(ax+b)(cx+d)}$$ наибольшее значение достигается в вершине параболы под корнем, то есть там, где выражение под корнем максимально. Удобно найти это по производной.

а)

$$y=\sqrt{(x-1)(10-x)}=\sqrt{-x^2+11x-10}.$$

Тогда

$$y’=\frac{11-2x}{2\sqrt{-x^2+11x-10}}.$$

Функция возрастает, когда

$$11-2x>0,$$

то есть

$$x<\frac{11}{2}.$$

Область определения:

$$(x-1)(10-x)\ge 0,\quad 1\le x\le 10.$$

Значит, наибольшее значение функция достигает при

$$x=\frac{11}{2}=5{,}5.$$

б)

$$y=\sqrt{(x+2)(4-x)}=\sqrt{-x^2+2x+8}.$$

Тогда

$$y’=\frac{1-x}{\sqrt{-x^2+2x+8}}.$$

Функция возрастает при

$$1-x>0,$$

то есть

$$x<1.$$

Область определения:

$$(x+2)(4-x)\ge 0,\quad -2\le x\le 4.$$

Следовательно, наибольшее значение достигается при

$$x=1.$$

в)

$$y=\sqrt{(2x-6)(7-x)}=\sqrt{-2x^2+20x-42}.$$

Тогда

$$y’=\frac{10-x}{\sqrt{-2x^2+20x-42}}.$$

Функция возрастает при

$$10-x>0,$$

то есть

$$x<10.$$

Область определения:

$$(2x-6)(7-x)\ge 0,\quad 3\le x\le 7.$$

Значит, наибольшее значение достигается при

$$x=5.$$

г)

$$y=\sqrt{(5-x)(x-3)}=\sqrt{-x^2+8x-15}.$$

Тогда

$$y’=\frac{4-x}{\sqrt{-x^2+8x-15}}.$$

Функция возрастает при

$$4-x>0,$$

то есть

$$x<4.$$

Область определения:

$$(5-x)(x-3)\ge 0,\quad 3\le x\le 5.$$

Следовательно, наибольшее значение достигается при

$$x=4.$$

Ответ

а) $$x=\frac{11}{2}$$; б) $$x=1$$; в) $$x=5$$; г) $$x=4$$.