Упр.46.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$y=x^3-3x$$, $$(-\infty;0]$$;
- б) $$y=\frac{x}{x^4+3}$$, $$[0;+\infty)$$;
- в) $$y=x^3-3x$$, $$[0;+\infty)$$;
- г) $$y=\frac{x}{x^4+3}$$, $$(-\infty;0]$$.
а) $$y=x^3-3x$$ на промежутке $$(-\infty;0]$$.
Найдём производную:
$$y’ = 3x^2-3 = 3(x^2-1).$$
Критические точки: $$x=\pm 1$$. На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция возрастает при $$x\le -1$$ и убывает при $$-1\le x\le 0$$, значит наибольшее значение достигается в точке $$x=-1$$:
$$y(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2.$$
Минимального значения на данном промежутке нет, так как при $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to -\infty$$.
б) $$y=\dfrac{x}{x^4+3}$$ на промежутке $$[0;+\infty)$$.
Найдём производную:
$$y’=\frac{(x^4+3)-x\cdot 4x^3}{(x^4+3)^2}=\frac{3-3x^4}{(x^4+3)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то знак производной определяется числителем:
$$3-3x^4\ge 0 \iff x^4\le 1 \iff 0\le x\le 1.$$
Следовательно, на $$[0;1]$$ функция возрастает, а при $$x\ge 1$$ убывает. Значит, минимум на концах промежутка:
$$y(0)=0,\qquad y(1)=\frac{1}{1^4+3}=\frac14.$$
Наименьшее значение равно $$0$$, наибольшее — $$\frac14$$.
в) $$y=x^3-3x$$ на промежутке $$[0;+\infty)$$.
Производная:
$$y’=3x^2-3=3(x^2-1).$$
На промежутке $$[0;+\infty)$$ функция убывает при $$0\le x\le 1$$ и возрастает при $$x\ge 1$$, поэтому минимум достигается в точке $$x=1$$:
$$y(1)=1^3-3\cdot 1=1-3=-2.$$
Наибольшего значения на данном промежутке нет, так как при $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to +\infty$$.
г) $$y=\dfrac{x}{x^4+3}$$ на промежутке $$(-\infty;0]$$.
Производная:
$$y’=\frac{3-3x^4}{(x^4+3)^2}.$$
На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция возрастает при $$-1\le x\le 0$$ и убывает при $$x\le -1$$, значит максимум достигается в точке $$x=-1$$:
$$y(-1)=\frac{-1}{(-1)^4+3}=-\frac14.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to 0$$, поэтому наименьшее значение равно $$0$$ не достигается, а наибольшее значение равно $$-\frac14$$.
Ответ
а) $$y_{\max}=2,$$ $$y_{\min}$$ не существует; б) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=\frac14$$; в) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=-\frac14$$.
