Упр.46.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=\sin^2\frac{x}{2}\cdot\sin x,\quad [-\pi;0]$$; б) $$y=\cos^2(0{,}5x)\cdot\cos x,\quad [0;\pi]$$.

а) $$y=x+\frac{1}{x}, \quad x\in(-\infty;0)$$

Найдём производную:

$$y’ = 1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$

Критические точки определяются из уравнения $$x^2-1=0,$$ откуда $$x=\pm1.$$

На промежутке $$(-\infty;0)$$ подходит только точка $$x=-1.$$

Так как при $$x\to 0-$$ значение функции стремится к $$-\infty,$$ а в точке $$x=-1$$

$$y(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2,$$

то наибольшее значение функции равно $$-2.$$ Наименьшего значения нет.

б) $$y=\frac{3x}{x^2+3}, \quad x\in[0;+\infty)$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{3(x^2+3)-3x\cdot2x}{(x^2+3)^2}=\frac{9-3x^2}{(x^2+3)^2}.$$

Так как знаменатель всегда положителен, то знак производной определяется числителем:

$$9-3x^2\ge 0 \iff x^2\le 3 \iff 0\le x\le \sqrt{3}.$$

Следовательно, на отрезке $$[0;\sqrt{3}]$$ функция возрастает, а при $$x\ge \sqrt{3}$$ убывает.

Найдём значения функции в концах и в точке максимума:

$$y(0)=0,$$

$$y(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2+3}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значит, наименьшее значение равно $$0,$$ а наибольшее — $$\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: а) $$y_{\max}=-2,$$ $$y_{\min}$$ не существует; б) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$