Упр.46.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=x^2-4x+5+|1-x|,\quad [0;4]$$;

б) $$y=|x^3-1|-3x,\quad [-1;3]$$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке найдём производную и исследуем стационарные точки.

а) $$y=\sin^2\frac{x}{2}\cdot \sin x,\quad x\in[-\pi;0]$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)’\sin x+\sin^2\frac{x}{2}\cdot(\sin x)’.$$

Так как $$\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)’=\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\frac12\sin x,$$ то

$$y’=\frac12\sin x\cdot \sin x+\sin^2\frac{x}{2}\cos x.$$

Используем формулу $$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$$:

$$y’=\frac12\sin^2 x+\frac{1-\cos x}{2}\cos x.$$

Умножим на $$2$$:

$$\sin^2 x+(1-\cos x)\cos x=0.$$

Пусть $$t=\cos x$$, тогда $$\sin^2 x=1-t^2$$. Получаем:

$$1-t^2+t-t^2=0,$$

$$2t^2-t-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+8=9,\qquad t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$

Отсюда

$$t_1=1,\qquad t_2=-\frac12.$$

Значит,

$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

На отрезке $$[-\pi;0]$$ получаем точки:

$$x=-\pi,\quad x=-\frac{2\pi}{3},\quad x=0.$$

Вычислим значения функции:

$$y(-\pi)=\sin^2\left(-\frac{\pi}{2}\right)\sin(-\pi)=1\cdot 0=0,$$

$$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) =\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) =-\frac{3\sqrt3}{8},$$

$$y(0)=\sin^2 0\cdot \sin 0=0.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=-\frac{3\sqrt3}{8},\qquad y_{\max}=0.$$

б) $$y=\cos^2\frac{x}{2}\cdot \cos x,\quad x\in[0;\pi]$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\cos^2\frac{x}{2}\right)’\cos x+\cos^2\frac{x}{2}\cdot(\cos x)’.$$

Так как $$\left(\cos^2\frac{x}{2}\right)’=-\frac12\sin x,$$ то

$$y’=-\frac12\sin x\cos x-\cos^2\frac{x}{2}\sin x.$$

Используем формулу $$\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$$:

$$y’=-\frac12\sin x\cos x-\frac{1+\cos x}{2}\sin x =-\frac12\sin x(1+2\cos x).$$

Так как $$1+2\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$$, получаем удобный вид:

$$y’=-\sin x\cos^2\frac{x}{2}.$$

Стационарные точки на $$[0;\pi]$$:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=0.$$

Отсюда

$$x=0,\quad x=\pi.$$

Проверим значения функции в концах отрезка:

$$y(0)=\cos^2 0\cdot \cos 0=1,$$

$$y(\pi)=\cos^2\frac{\pi}{2}\cdot \cos\pi=0\cdot(-1)=0.$$

Внутренних точек, дающих меньшее значение, нет, поэтому

$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=1.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-\frac{3\sqrt3}{8},\ y_{\max}=0$$; б) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$.