Упр.46.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$y=x^3-2x|x-2|,\quad [-1;3]$$;
б) $$y=3x|x+1|-x^3,\quad [-1;2]$$.

Подробный ответ

а) $$y=\sin^3 x+\cos^3 x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$

Найдём производную:

$$y’=(\sin^3 x)’ + (\cos^3 x)’ \\ y’=3\sin^2 x\cos x-3\cos^2 x\sin x \\ y’=3\sin x\cos x(\sin x-\cos x)$$

Критические точки на отрезке получаем из уравнения $$y’=0$$:

$$3\sin x\cos x(\sin x-\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0,\quad \cos x=0,\quad \sin x=\cos x$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем точки $$x=0,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2}.$$

Вычислим значения функции в этих точках:

$$y(0)=\sin^3 0+\cos^3 0=0^3+1^3=1$$

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin^3\frac{\pi}{4}+\cos^3\frac{\pi}{4} =\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3 =\frac{\sqrt2}{4}+\frac{\sqrt2}{4} =\frac{\sqrt2}{2}$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin^3\frac{\pi}{2}+\cos^3\frac{\pi}{2}=1^3+0^3=1$$

Следовательно,

$$y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad y_{\max}=1.$$

б) $$y=\sin^5 x-\cos^5 x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$

Найдём производную:

$$y’=(\sin^5 x)’-(\cos^5 x)’ \\ y’=5\sin^4 x\cos x+5\cos^4 x\sin x \\ y’=5\sin x\cos x(\sin^3 x+\cos^3 x)$$

Решаем уравнение $$y’=0$$:

$$5\sin x\cos x(\sin^3 x+\cos^3 x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0,\quad \cos x=0,\quad \sin^3 x+\cos^3 x=0$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ получаем точки $$x=-\frac{\pi}{2},\ -\frac{\pi}{4},\ 0.$$

Вычислим значения функции:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sin^5\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\cos^5\left(-\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^5-0^5=-1$$

$$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin^5\left(-\frac{\pi}{4}\right)-\cos^5\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^5-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^5 =-\frac{\sqrt2}{4}$$

$$y(0)=\sin^5 0-\cos^5 0=0^5-1^5=-1$$

Следовательно,

$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=-\frac{\sqrt2}{4}.$$