Упр.46.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- $$y=x^4+8x^3+24x^2+32x+21,\quad [-3;0]$$
- $$y=x^4-4x^3+6x^2-4x-9,\quad [0;4]$$
- $$y=4x^3-21x^2+36x-2,\quad [1;2]$$
- $$y=0{,}25x^4-\frac{7}{3}x^3+3{,}5,\quad [-1;2]$$
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, исследуя каждую часть по отдельности.
а)
$$y=x^3-2x|x-2|,\quad x\in[-1;3]$$
Разобьём на случаи:
$$y= \begin{cases} x^3-2x(x-2)=x^3-2x^2+4x, & x\ge 2,\\ x^3+2x(x-2)=x^3+2x^2-4x, & x<2. \end{cases}$$
1) При $$x<2$$:
$$y’=3x^2+4x-4.$$
$$3x^2+4x-4=0,\quad D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=64,$$
$$x=\frac{-4\pm 8}{6}\Rightarrow x=\frac23,\,-2.$$
На отрезке $$[-1;2)$$ подходит только $$x=\frac23$$.
2) При $$x\ge 2$$:
$$y’=3x^2-4x+4.$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 4=16-48<0,$$
значит, корней нет.
Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-1)=-1+2\cdot(-1)\cdot(-3)=5,$$
$$y\!\left(\frac23\right)=\frac{8}{27}+2\cdot\frac23\left(\frac23-2\right)=\frac{8}{27}-\frac{16}{9}=-\frac{40}{27},$$
$$y(2)=8,\qquad y(3)=27-2\cdot 3\cdot 1=21.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-\frac{40}{27},\qquad y_{\max}=21.$$
б)
$$y=3x|x+1|-x^3,\quad x\in[-1;2]$$
Разобьём на случаи:
$$y= \begin{cases} 3x(x+1)-x^3=3x^2+3x-x^3, & x\ge -1,\\ -3x(x+1)-x^3=-3x^2-3x-x^3, & x<-1. \end{cases}$$
На отрезке $$[-1;2]$$ достаточно рассмотреть первую формулу.
$$y’=6x+3-3x^2.$$
$$6x+3-3x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2-2x-1=0,$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=1\pm\sqrt2.$$
На отрезке $$[-1;2]$$ лежит только $$x=1-\sqrt2.$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-1)=3\cdot(-1)\cdot 0-(-1)^3=1,$$
$$y(2)=3\cdot 2\cdot 3-2^3=18-8=10,$$
$$y(1-\sqrt2)=3(1-\sqrt2)\bigl(2-\sqrt2\bigr)-(1-\sqrt2)^3=5-4\sqrt2.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=5-4\sqrt2,\qquad y_{\max}=10.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-\frac{40}{27},\; y_{\max}=21.$$
б) $$y_{\min}=5-4\sqrt2,\; y_{\max}=10.$$
