Упр.46.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=(2x-1)^2(x-2),\quad [-1;2]$$;
б) $$y=\frac{x^2}{x^2-2x-1},\quad [0;2]$$;
в) $$y=(x+4)(3x+1)^2,\quad [-2;-\frac{1}{2}]$$;
г) $$y=\frac{5x^3}{x^2-9},\quad [-1;1]$$.

а) На отрезке $$[0;4]$$ имеем $$|x|=x$$, поэтому

$$y=x^2-5x+6.$$

Найдём производную:

$$y’=2x-5.$$

Стационарная точка:

$$2x-5=0,\quad x=\frac52.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$$y(0)=6,$$

$$y\!\left(\frac52\right)=\left(\frac52\right)^2-5\cdot\frac52+6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=-\frac14,$$

$$y(4)=16-20+6=2.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-\frac14,$$ $$y_{\max}=6.$$

б) На отрезке $$[-5;0]$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому

$$y=x^2+5x+6.$$

Тогда

$$y’=2x+5.$$

Стационарная точка:

$$2x+5=0,\quad x=-\frac52.$$

Вычислим значения функции:

$$y(-5)=25-25+6=6,$$

$$y\!\left(-\frac52\right)=\left(-\frac52\right)^2+5\cdot\left(-\frac52\right)+6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=-\frac14,$$

$$y(0)=6.$$

Значит, $$y_{\min}=-\frac14,$$ $$y_{\max}=6.$$

в) На отрезке $$[1;5]$$ имеем $$|x|=x$$, поэтому

$$y=x^2+8x+7.$$

Производная:

$$y’=2x+8.$$

Стационарных точек на данном отрезке нет, так как

$$2x+8=0,\quad x=-4 \notin [1;5].$$

Функция возрастает на $$[1;5]$$, значит, минимум и максимум достигаются на концах отрезка:

$$y(1)=1+8+7=16,$$

$$y(5)=25+40+7=72.$$

Следовательно, $$y_{\min}=16,$$ $$y_{\max}=72.$$

г) На отрезке $$[-8;-2]$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому

$$y=x^2-8x+7.$$

Тогда

$$y’=2x-8.$$

Стационарная точка:

$$2x-8=0,\quad x=4,$$

но $$4 \notin [-8;-2].$$

Функция убывает на $$[-8;-2]$$, поэтому

$$y(-8)=64+64+7=135,$$

$$y(-2)=4+16+7=27.$$

Значит, $$y_{\min}=27,$$ $$y_{\max}=135.$$

Ответ: а) $$y_{\min}=-\frac14,\ y_{\max}=6$$; б) $$y_{\min}=-\frac14,\ y_{\max}=6$$; в) $$y_{\min}=16,\ y_{\max}=72$$; г) $$y_{\min}=27,\ y_{\max}=135$$.