Упр.46.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=(2x-1)^2(x-2),\quad [-1;2]$$;
б) $$y=\frac{x^2}{x^2-2x-1},\quad [0;2]$$;
в) $$y=(x+4)(3x+1)^2,\quad [-2;-\frac{1}{2}]$$;
г) $$y=\frac{5x^3}{x^2-9},\quad [-1;1]$$.
а) На отрезке $$[0;4]$$ имеем $$|x|=x$$, поэтому
$$y=x^2-5x+6.$$
Найдём производную:
$$y’=2x-5.$$
Стационарная точка:
$$2x-5=0,\quad x=\frac52.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:
$$y(0)=6,$$
$$y\!\left(\frac52\right)=\left(\frac52\right)^2-5\cdot\frac52+6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=-\frac14,$$
$$y(4)=16-20+6=2.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-\frac14,$$ $$y_{\max}=6.$$
б) На отрезке $$[-5;0]$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому
$$y=x^2+5x+6.$$
Тогда
$$y’=2x+5.$$
Стационарная точка:
$$2x+5=0,\quad x=-\frac52.$$
Вычислим значения функции:
$$y(-5)=25-25+6=6,$$
$$y\!\left(-\frac52\right)=\left(-\frac52\right)^2+5\cdot\left(-\frac52\right)+6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=-\frac14,$$
$$y(0)=6.$$
Значит, $$y_{\min}=-\frac14,$$ $$y_{\max}=6.$$
в) На отрезке $$[1;5]$$ имеем $$|x|=x$$, поэтому
$$y=x^2+8x+7.$$
Производная:
$$y’=2x+8.$$
Стационарных точек на данном отрезке нет, так как
$$2x+8=0,\quad x=-4 \notin [1;5].$$
Функция возрастает на $$[1;5]$$, значит, минимум и максимум достигаются на концах отрезка:
$$y(1)=1+8+7=16,$$
$$y(5)=25+40+7=72.$$
Следовательно, $$y_{\min}=16,$$ $$y_{\max}=72.$$
г) На отрезке $$[-8;-2]$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому
$$y=x^2-8x+7.$$
Тогда
$$y’=2x-8.$$
Стационарная точка:
$$2x-8=0,\quad x=4,$$
но $$4 \notin [-8;-2].$$
Функция убывает на $$[-8;-2]$$, поэтому
$$y(-8)=64+64+7=135,$$
$$y(-2)=4+16+7=27.$$
Значит, $$y_{\min}=27,$$ $$y_{\max}=135.$$
Ответ: а) $$y_{\min}=-\frac14,\ y_{\max}=6$$; б) $$y_{\min}=-\frac14,\ y_{\max}=6$$; в) $$y_{\min}=16,\ y_{\max}=72$$; г) $$y_{\min}=27,\ y_{\max}=135$$.
