Упр.46.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:
- а) $$y=\operatorname{ctg}x+x,\quad \left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$
б) $$y=2\sin x-x,\quad [0;\pi]$$
в) $$y=2\cos x+x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
г) $$y=\operatorname{tg}x-x,\quad \left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$
а) Рассмотрим функцию $$y=\ctg x+x$$ на отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right].$$
Найдём стационарные точки:
$$y’=(\ctg x)’ + (x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}+1.$$
$$-\frac{1}{\sin^2 x}+1=0,$$
$$\sin^2 x=1,$$
$$\sin x=\pm 1.$$
На данном отрезке подходит только $$x=\frac{\pi}{2}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:
$$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=1+\frac{\pi}{4},$$
$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\ctg\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2},$$
$$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\ctg\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=-1+\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}-1.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=\frac{3\pi}{4}-1,\qquad y_{\max}=1+\frac{\pi}{4}.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=2\sin x-x$$ на отрезке $$[0;\pi].$$
Найдём стационарные точки:
$$y’=2\cos x-1,$$
$$2\cos x-1=0,$$
$$\cos x=\frac12,$$
$$x=\frac{\pi}{3}.$$
Вычислим значения функции:
$$y(0)=2\sin 0-0=0,$$
$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{3}=\sqrt3-\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt3-\pi}{3},$$
$$y(\pi)=2\sin\pi-\pi=0-\pi=-\pi.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-\pi,\qquad y_{\max}=\frac{3\sqrt3-\pi}{3}.$$
в) Рассмотрим функцию $$y=2\cos x+x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$
Найдём стационарные точки:
$$y’=-2\sin x+1,$$
$$-2\sin x+1=0,$$
$$\sin x=\frac12,$$
$$x=\frac{\pi}{6}.$$
Вычислим значения функции:
$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{2}=0-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2},$$
$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{6}=\sqrt3+\frac{\pi}{6},$$
$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-\frac{\pi}{2},\qquad y_{\max}=\sqrt3+\frac{\pi}{6}.$$
г) Рассмотрим функцию $$y=\tg x-x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{3}\right].$$
Найдём стационарные точки:
$$y’=\frac{1}{\cos^2 x}-1,$$
$$\frac{1}{\cos^2 x}-1=0,$$
$$\cos^2 x=1,$$
$$\cos x=\pm 1.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$ подходит только $$x=0.$$
Вычислим значения функции:
$$y(0)=\tg 0-0=0,$$
$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tg\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\sqrt3-\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt3-\pi}{3}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=\frac{3\sqrt3-\pi}{3}.$$
