Упр.46.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^3+3x^2-45x-2$$ на отрезке: а) $$[-6; 0]$$; б) $$[1; 2]$$; в) $$[-6; -1]$$; г) $$[0; 2]$$.

Найдём производную функции $$y=x^3+3x^2-45x-2.$$

$$y’ = 3x^2+6x-45 = 3(x^2+2x-15)=3(x-3)(x+5).$$

Стационарные точки: $$x=-5,\; x=3.$$

а) На отрезке $$[-6;0]$$

Проверим концы отрезка и точку $$x=-5$$:

$$y(-6)=(-6)^3+3\cdot(-6)^2-45\cdot(-6)-2=160,$$

$$y(-5)=(-5)^3+3\cdot(-5)^2-45\cdot(-5)-2=173,$$

$$y(0)=0^3+3\cdot0^2-45\cdot0-2=-2.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=173.$$

б) На отрезке $$[1;2]$$

Стационарных точек на отрезке нет, поэтому сравним значения на концах:

$$y(1)=1^3+3\cdot1^2-45\cdot1-2=-43,$$

$$y(2)=2^3+3\cdot2^2-45\cdot2-2=-72.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-72,$$ $$y_{\max}=-43.$$

в) На отрезке $$[-6;-1]$$

Проверим концы отрезка и точку $$x=-5$$:

$$y(-6)=160,$$

$$y(-5)=173,$$

$$y(-1)=(-1)^3+3\cdot(-1)^2-45\cdot(-1)-2=45.$$

Следовательно, $$y_{\min}=45,$$ $$y_{\max}=173.$$

г) На отрезке $$[0;2]$$

Проверим концы отрезка:

$$y(0)=-2,$$

$$y(2)=-72.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-72,$$ $$y_{\max}=-2.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-2,\; y_{\max}=173.$$
б) $$y_{\min}=-72,\; y_{\max}=-43.$$
в) $$y_{\min}=45,\; y_{\max}=173.$$
г) $$y_{\min}=-72,\; y_{\max}=-2.$$