Упр.46.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^3-9x^2+24x-1$$ на отрезке: а) $$[-1; 3]$$; б) $$[3; 6]$$; в) $$[-2; 3]$$; г) $$[3; 5]$$.

Найдём производную функции:

$$y=x^3-9x^2+24x-1,$$

$$y’=3x^2-18x+24=3(x^2-6x+8)=3(x-2)(x-4).$$

Критические точки: $$x=2$$ и $$x=4$$.

а) $$[-1;3]$$

На отрезке нужно проверить концы отрезка и критическую точку $$x=2$$:

$$y(-1)=(-1)^3-9(-1)^2+24(-1)-1=-35,$$

$$y(2)=2^3-9\cdot 2^2+24\cdot 2-1=19,$$

$$y(3)=3^3-9\cdot 3^2+24\cdot 3-1=17.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-35,$$ $$y_{\max}=19.$$

б) $$[3;6]$$

Проверяем точки $$x=3,4,6$$:

$$y(3)=17,$$

$$y(4)=4^3-9\cdot 4^2+24\cdot 4-1=15,$$

$$y(6)=6^3-9\cdot 6^2+24\cdot 6-1=35.$$

Значит, $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=35.$$

в) $$[-2;3]$$

Проверяем точки $$x=-2,2,3$$:

$$y(-2)=(-2)^3-9(-2)^2+24(-2)-1=-93,$$

$$y(2)=19,$$

$$y(3)=17.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-93,$$ $$y_{\max}=19.$$

г) $$[3;5]$$

Проверяем точки $$x=3,4,5$$:

$$y(3)=17,$$

$$y(4)=15,$$

$$y(5)=5^3-9\cdot 5^2+24\cdot 5-1=19.$$

Итак, $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=19.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-35,$$ $$y_{\max}=19$$; б) $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=35$$; в) $$y_{\min}=-93,$$ $$y_{\max}=19$$; г) $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=19$$.