Упр.45.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\sqrt{\frac{x-1}{x}}$$; б) $$y=(x-3)\sqrt{x}$$.

а) $$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x}}$$

Найдём область определения:

$$x\ne 0,\qquad \frac{x-1}{x}\ge 0.$$

Отсюда

$$D(f)=(-\infty;0)\cup[1;+\infty).$$

Исследуем функцию на чётность:

$$f(-x)=\sqrt{\frac{-x-1}{-x}}=\sqrt{\frac{x+1}{x}},$$

поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

Найдём асимптоты:

$$x=0$$

— вертикальная асимптота, а

$$\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{x-1}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1-\frac1x}=1,$$

значит, горизонтальная асимптота:

$$y=1.$$

Производная:

$$f'(x)=\left(\sqrt{\frac{x-1}{x}}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x}}}\cdot\left(\frac{x-1}{x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x}}}\cdot\frac{1}{x^2}.$$

Так как на области определения знаменатель положителен, то $$f'(x)>0$$ на каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty).$$ Следовательно, функция возрастает на этих промежутках.

Для построения отметим точки:

$$(-2;\sqrt{\tfrac32}),\quad (-1;\sqrt2),\quad (1;0),\quad (2;\tfrac1{\sqrt2}),\quad (4;\tfrac{\sqrt3}{2}).$$

б) $$f(x)=(x-3)\sqrt{x}$$

Область определения:

$$x\ge 0,\qquad D(f)=[0;+\infty).$$

Функция не является чётной или нечётной.

Производная:

$$f'(x)=(x-3)’\sqrt{x}+(x-3)(\sqrt{x})’=\sqrt{x}+\frac{x-3}{2\sqrt{x}}=\frac{3x-3}{2\sqrt{x}}.$$

На области определения при $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:

$$3x-3=3(x-1).$$

Значит,

$$f'(x)<0 \text{ при } 0<x<1,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>1.$$

Следовательно, функция убывает на $$[0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$

Минимум достигается при $$x=1$$:

$$f(1)=(1-3)\sqrt1=-2.$$

Для построения отметим точки:

$$(0;0),\quad (1;-2),\quad (3;0),\quad (4;2),\quad (5;4\sqrt5-? )$$

Точку $$x=5$$ лучше не использовать без вычисления; достаточно основных точек $$(0;0), (1;-2), (3;0), (4;2).$$

Ответ: а) $$D(f)=(-\infty;0)\cup[1;+\infty),$$ асимптоты $$x=0,$$ $$y=1,$$ функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty);$$ б) $$D(f)=[0;+\infty),$$ функция убывает на $$[0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty),$$ минимум $$f_{\min}=-2$$ при $$x=1.$$