Упр.45.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=2\sqrt{x}-x$$; б) $$y=\sqrt{x+4}+\frac{2}{3}\sqrt{9-3x}$$

а) $$f(x)=2\sqrt{x}-x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(2\sqrt{x}\right)’-\left(x\right)’=\frac{1}{\sqrt{x}}-1.$$

Область определения:

$$x\ge 0,\qquad D(f)=[0;+\infty).$$

Исследуем функцию на монотонность:

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-1=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.$$

При $$0<x<1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ а при $$x>1$$ имеем $$f'(x)<0.$$

Значит, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$

Найдём значение в точке максимума:

$$f(1)=2\sqrt{1}-1=1.$$

Для построения графика удобно взять несколько точек:

График проходит через точки $$\left(0;0\right), \left(1;1\right), \left(4;0\right), \left(9;-3\right).$$

б) $$f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{2}{3}\sqrt{9-3x}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}-\frac{1}{\sqrt{9-3x}}.$$

Область определения:

$$x+4\ge 0,\qquad 9-3x\ge 0.$$

Отсюда

$$x\ge -4,\qquad x\le 3,\qquad D(f)=[-4;3].$$

Исследуем функцию на монотонность:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}-\frac{1}{\sqrt{9-3x}}.$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$\frac{1}{2\sqrt{x+4}}=\frac{1}{\sqrt{9-3x}}$$

$$\sqrt{9-3x}=2\sqrt{x+4}$$

$$9-3x=4(x+4)$$

$$9-3x=4x+16$$

$$-7=7x,\qquad x=-1.$$

При $$x<-1$$ производная положительна, а при $$x>-1$$ отрицательна. Значит, функция возрастает на $$[-4;-1]$$ и убывает на $$[-1;3].$$

Найдём значение в точке максимума:

$$f(-1)=\sqrt{3}+\frac{2}{3}\sqrt{12}=\sqrt{3}+\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}.$$

Для построения графика возьмём точки:

График проходит через точки $$\left(-4;3\right), \left(-1;\frac{7\sqrt{3}}{3}\right), \left(3;\frac{8}{3}\right).$$

Ответ

а) $$D(f)=[0;+\infty),$$ функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty),$$ максимум $$f_{\max}=1$$ при $$x=1.$$

б) $$D(f)=[-4;3],$$ функция возрастает на $$[-4;-1]$$ и убывает на $$[-1;3],$$ максимум $$f_{\max}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$ при $$x=-1.$$