Упр.45.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-4}$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$f'(x)=\frac{(x^2+4)'(x^2-4)-(x^2+4)(x^2-4)’}{(x^2-4)^2}$$

$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-(x^2+4)\cdot 2x}{(x^2-4)^2} =\frac{2x(x^2-4-x^2-4)}{(x^2-4)^2} =\frac{-16x}{(x^2-4)^2}$$

Область определения:

$$x^2-4\ne 0,\quad x\ne \pm 2$$

$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$

Функция чётная, так как

$$f(-x)=\frac{(-x)^2+4}{(-x)^2-4}=\frac{x^2+4}{x^2-4}=f(x)$$

Асимптоты:

$$x=\pm 2,\qquad y=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4}{x^2-4}=1$$

Значит, горизонтальная асимптота: $$y=1$$.

Исследуем знак производной:

$$f'(x)=\frac{-16x}{(x^2-4)^2}$$

Так как $$\,(x^2-4)^2>0\,$$ при $$x\ne \pm 2,$$ то знак $$f'(x)$$ определяется знаком $$-x$$. Следовательно, функция возрастает при $$x<0$$ и убывает при $$x>0$$ с учётом области определения:

$$\text{возрастает на }(-\infty;-2)\cup(-2;0],\qquad \text{убывает на }[0;2)\cup(2;+\infty)$$

Стационарная точка:

$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\qquad f(0)=\frac{4}{-4}=-1$$

Значит, $$y_{\max}=-1$$.

б) $$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)’}{(x^2-1)^2}$$

$$f'(x)=\frac{2x(x^2-1)-(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2-1)^2} =\frac{2x(x^2-1-x^2-1)}{(x^2-1)^2} =\frac{-4x}{(x^2-1)^2}$$

Область определения:

$$x^2-1\ne 0,\quad x\ne \pm 1$$

$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$

Функция чётная:

$$f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}=f(x)$$

Асимптоты:

$$x=\pm 1,\qquad y=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}=1$$

Значит, горизонтальная асимптота: $$y=1$$.

Исследуем знак производной:

$$f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}$$

Так как $$\,(x^2-1)^2>0\,$$ при $$x\ne \pm 1,$$ то знак $$f'(x)$$ определяется знаком $$-x$$. Поэтому

$$\text{возрастает на }(-\infty;-1)\cup(-1;0],\qquad \text{убывает на }[0;1)\cup(1;+\infty)$$

Стационарная точка:

$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\qquad f(0)=\frac{1}{-1}=-1$$

Следовательно, $$y_{\max}=-1$$.

Ответ: для обеих функций $$D(f)=(-\infty;-a)\cup(-a;a)\cup(a;+\infty)$$ при $$a=2$$ и $$a=1$$ соответственно; функции чётные; асимптоты $$x=\pm 2,\ y=1$$ и $$x=\pm 1,\ y=1$$; максимум в точке $$x=0$$, $$y_{\max}=-1$$.