Упр.45.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$y=\frac{x}{x^2-4}$$
- б) $$y=\frac{x-3}{x^2-8}$$
а) $$f(x)=\frac{x}{x^2-4}$$
Найдём производную по правилу дроби:
$$f'(x)=\frac{(x^2-4)\cdot 1-x\cdot 2x}{(x^2-4)^2} =\frac{x^2-4-2x^2}{(x^2-4)^2} =\frac{-x^2-4}{(x^2-4)^2} =-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}.$$
Так как $$x^2+4>0$$ при всех $$x$$, а $$\left(x^2-4\right)^2>0$$ при $$x\ne \pm 2$$, то
$$f'(x)<0$$ на всей области определения.
Следовательно, функция убывает на промежутках
$$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Область определения:
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2-4}=-\frac{x}{x^2-4}=-f(x).$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-2$$ и $$x=2$$.
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2-4}=0,$$
значит, $$y=0$$.
б) $$f(x)=\frac{x-3}{x^2-8}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x^2-8)\cdot 1-(x-3)\cdot 2x}{(x^2-8)^2} =\frac{x^2-8-2x^2+6x}{(x^2-8)^2} =\frac{-x^2+6x-8}{(x^2-8)^2}.$$
Преобразуем числитель:
$$-x^2+6x-8=-(x^2-6x+8)=-(x-2)(x-4).$$
Тогда
$$f'(x)=\frac{-(x-2)(x-4)}{(x^2-8)^2}.$$
Знаменатель положителен при $$x\ne \pm 2\sqrt2$$, поэтому знак производной определяется выражением $$-(x-2)(x-4)$$.
Отсюда:
- $$f'(x)>0$$ при $$2<x<4$$;
- $$f'(x)<0$$ при $$x<2$$ и при $$x>4$$, с учётом разрывов в точках $$x=\pm 2\sqrt2$$.
Итак, функция возрастает на
$$[2;2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;4],$$
убывает на
$$(-\infty;-2\sqrt2)\cup(-2\sqrt2;2]\cup[4;+\infty).$$
Область определения:
$$D(f)=(-\infty;-2\sqrt2)\cup(-2\sqrt2;2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty).$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-2\sqrt2$$ и $$x=2\sqrt2$$.
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{x^2-8}=0,$$
значит, $$y=0$$.
Стационарные точки:
$$f(2)=\frac{2-3}{2^2-8}=\frac{-1}{-4}=\frac14, \qquad f(4)=\frac{4-3}{4^2-8}=\frac{1}{8}.$$
Следовательно, в точке $$x=2$$ — минимум, а в точке $$x=4$$ — максимум.
Ответ:
а) $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$, функция нечётная, убывает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$, асимптоты $$x=\pm2$$, $$y=0$$.
б) $$D(f)=(-\infty;-2\sqrt2)\cup(-2\sqrt2;2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)$$, функция возрастает на $$[2;2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;4]$$, убывает на $$(-\infty;-2\sqrt2)\cup(-2\sqrt2;2]\cup[4;+\infty)$$, асимптоты $$x=\pm2\sqrt2$$, $$y=0$$, $$f(2)=\frac14$$, $$f(4)=\frac18$$.
