Упр.45.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$$
$$f'(x)=\frac12-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2-4}{2x^2}$$
1) Область определения:
$$x\ne 0,\qquad D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
2) Чётность:
$$f(-x)=\frac{-x}{2}+\frac{2}{-x}=-\left(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\right)=-f(x)$$
Следовательно, функция нечётная.
3) Асимптоты:
$$x=0$$
$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\right)=+\infty$$
Значит, горизонтальной асимптоты нет.
4) Промежутки монотонности:
$$f'(x)\ge 0 \iff \frac{x^2-4}{2x^2}\ge 0 \iff x^2-4\ge 0 \iff x\le -2 \text{ или } x\ge 2$$
Так как при $$x\ne 0$$ знаменатель положителен, получаем:
функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0)\cup(0;2]$$.
5) Экстремумы:
$$f(-2)=-1-1=-2$$
$$f(2)=1+1=2$$
Следовательно, $$y_{\max}=-2$$, $$y_{\min}=2$$.
6) Несколько точек для построения графика:
| $$x$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$3$$ | $$5$$ |
|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$4{,}25$$ | $$2{,}5$$ | $$2{,}2$$ | $$2{,}9$$ |
График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
б) $$f(x)=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$$
$$f'(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}$$
1) Область определения:
$$x\ne 0,\qquad D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
2) Чётность:
$$f(-x)=-x+\frac{4}{-x}=-\left(x+\frac{4}{x}\right)=-f(x)$$
Следовательно, функция нечётная.
3) Асимптоты:
$$x=0$$
$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(x+\frac{4}{x}\right)=+\infty$$
Горизонтальной асимптоты нет.
4) Промежутки монотонности:
$$f'(x)\ge 0 \iff \frac{x^2-4}{x^2}\ge 0 \iff x^2-4\ge 0 \iff x\le -2 \text{ или } x\ge 2$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0)\cup(0;2]$$.
5) Экстремумы:
$$f(-2)=-2+\frac{4}{-2}=-4$$
$$f(2)=2+\frac{4}{2}=4$$
Следовательно, $$y_{\max}=-4$$, $$y_{\min}=4$$.
6) Несколько точек для построения графика:
| $$x$$ | $$1$$ | $$4$$ | $$6$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$5$$ | $$2{,}9$$ | $$6{,}6$$ |
График также состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, функция нечётная, асимптота $$x=0$$, возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0)\cup(0;2]$$, $$y_{\max}=-2$$, $$y_{\min}=2$$.
б) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, функция нечётная, асимптота $$x=0$$, возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0)\cup(0;2]$$, $$y_{\max}=-4$$, $$y_{\min}=4$$.
