Упр.45 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. а) $$x^2-5(vx)^2-6=0$$; б) $$x^2+v(x+1)^2-3=0$$; в) $$x^2+(v(x-3))^2-0=0$$; г) $$x^2+v(x-3)^2-9=0$$.

а) $$x^2-5(\sqrt{x})^2-6=0.$$

Так как $$\left(\sqrt{x}\right)^2=x$$ при $$x\ge 0,$$ получаем:

$$x^2-5x-6=0.$$

$$D=25+24=49,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-1,\quad x_2=6.$$

С учётом области определения $$x\ge 0$$ подходит только $$x=6.$$

б) $$x^2+\sqrt{(x+1)^2}-3=0.$$

Так как $$\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|,$$ рассмотрим два случая.

1) Если $$x\ge -1,$$ то $$|x+1|=x+1,$$ и тогда

$$x^2+x+1-3=0,$$

$$x^2+x-2=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$

Получаем $$x_1=-2,\quad x_2=1.$$

Из условия $$x\ge -1$$ подходит только $$x=1.$$

2) Если $$x<-1,$$ то $$|x+1|=-(x+1),$$ и тогда

$$x^2-x-1-3=0,$$

$$x^2-x-4=0,$$

$$D=1+16=17,$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}.$$

Из них условию $$x<-1$$ удовлетворяет только

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}.$$

в) $$x^2+\sqrt{(x-3)^2}-9=0.$$

Так как $$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|,$$ рассмотрим случаи.

1) Если $$x\ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ и тогда

$$x^2+x-12=0,$$

$$D=1+48=49,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$

Получаем $$x_1=-4,\quad x_2=3.$$

С учётом условия подходит $$x=3.$$

2) Если $$x<3,$$ то $$|x-3|=-(x-3),$$ и тогда

$$x^2-x-6=0,$$

$$D=1+24=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}.$$

Получаем $$x_1=-2,\quad x_2=3.$$

С учётом условия подходит $$x=-2.$$

г) $$x^2+\sqrt{(x-3)^2}-9=0.$$

Это уравнение решается так же, как в пункте в), поэтому

$$x=-2,\quad x=3.$$

Ответ

а) $$6$$; б) $$1,\ \frac{1-\sqrt{17}}{2}$$; в) $$-2,\ 3$$; г) $$-2,\ 3$$.