Упр.45.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\sqrt[3]{x+1}=-x^3+5x^2+6$$;

б) $$x^3-3x=(x+1)^6+2$$.

а) Рассмотрим функции $$y=3\sqrt{x+1}$$ и $$y=-x^3+3x^2+6.$$

Область определения первой функции: $$x+1\ge 0,$$ значит $$x\ge -1.$$

Найдём характер изменения функций:

$$y_1’=3\left(\sqrt{x+1}\right)’=\frac{3}{2\sqrt{x+1}}>0 \quad \text{при } x>-1,$$

значит, $$y=3\sqrt{x+1}$$ возрастает на $$[-1;+\infty).$$

Для второй функции:

$$y_2’=(-x^3+3x^2+6)’=-3x^2+6x=3x(2-x).$$

Отсюда $$y_2′>0$$ при $$0<x<2,$$ а значит, функция возрастает на $$[0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty).$$

Проверим общую точку графиков. Подставим $$x=3$$:

$$3\sqrt{3+1}=3\sqrt4=6,$$

$$-3^3+3\cdot 3^2+6=-27+27+6=6.$$

Точка $$\left(3;6\right)$$ принадлежит обоим графикам, значит, $$x=3$$ — корень уравнения.

б) Рассмотрим функции $$y=x^3-3x$$ и $$y=(x+1)^6+2.$$

Для первой функции:

$$y_1’=(x^3-3x)’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Следовательно, $$y_1′>0$$ при $$x<-1$$ и $$x>1,$$ а $$y_1′<0$$ при $$-1<x<1.$$

Значит, $$y=x^3-3x$$ возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1].$$

Для второй функции:

$$y_2’=((x+1)^6+2)’=6(x+1)^5.$$

Так как степень нечётная, то $$y_2′<0$$ при $$x<-1$$ и $$y_2′>0$$ при $$x>-1.$$

Значит, $$y=(x+1)^6+2$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty).$$

В точке $$x=-1$$ обе функции принимают одно и то же значение:

$$(-1)^3-3(-1)=-1+3=2,$$

$$(-1+1)^6+2=0^6+2=2.$$

Следовательно, графики пересекаются в точке $$(-1;2),$$ и это единственная общая точка. Значит, корень уравнения:

$$x=-1.$$

Ответ: а) $$3$$; б) $$-1$$.