Упр.45.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных ограничениях на параметр $$a$$: а) $$x^3 — 3x^2 = a$$, $$-4 < a < 0$$; б) $$-x^3 + 3x^2 - 2 = a$$, $$a < -2$$; в) $$3x^2 - x^3 = a$$, $$0 < a < 4$$; г) $$x^3 - 3x^2 + 2 = a$$, $$a > 2$$?
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x^2.$$
Её производная:
$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Значит, $$f(x)$$ возрастает на $$(-\infty;0] \cup [2;+\infty)$$ и убывает на $$[0;2].$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$f(0)=0,$$
$$f(2)=8-12=-4.$$
Следовательно, на промежутке $$(-4;0)$$ горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график функции в трёх точках, то есть уравнение имеет три корня.
Ответ
а) $$3$$ корня.
Рассмотрим функцию $$f(x)=-x^3+3x^2-2.$$
Её производная:
$$f'(x)=-3x^2+6x=3x(2-x).$$
Значит, $$f(x)$$ возрастает на $$[0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0] \cup [2;+\infty).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$f(0)=-2,$$
$$f(2)=-8+12-2=2.$$
При $$a<-2$$ прямая $$y=a$$ лежит ниже наименьшего значения функции, поэтому уравнение имеет один корень.
Ответ
б) $$1$$ корень.
Рассмотрим функцию $$f(x)=3x^2-x^3.$$
Её производная:
$$f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x).$$
Значит, $$f(x)$$ возрастает на $$[0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0] \cup [2;+\infty).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$f(0)=0,$$
$$f(2)=12-8=4.$$
При $$0<a<4$$ прямая $$y=a$$ пересекает график в трёх точках, значит, уравнение имеет три корня.
Ответ
в) $$3$$ корня.
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x^2+2.$$
Её производная:
$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Значит, $$f(x)$$ возрастает на $$(-\infty;0] \cup [2;+\infty)$$ и убывает на $$[0;2].$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$f(0)=2,$$
$$f(2)=8-12+2=-2.$$
При $$a>2$$ прямая $$y=a$$ проходит выше наибольшего значения функции, поэтому уравнение имеет один корень.
Ответ
г) $$1$$ корень.
