Упр.45.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) Постройте график функции $$y=-x^4+2x^2+8$$.
б) При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$-x^4+2x^2+8=a$$ не имеет корней?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$f(x)=-x^4+2x^2+8.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-4x^3+4x=-4x(x^2-1)=-4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{aligned} &f'(x)>0 \quad \text{на } (-\infty,-1)\cup(0,1),\\ &f'(x)<0 \quad \text{на } (-1,0)\cup(1,+\infty). \end{aligned}$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-1]\cup[0,1]$$ и убывает на $$[-1,0]\cup[1,+\infty).$$

Найдём значения функции в критических точках:

$$f(-1)=-( -1)^4+2\cdot(-1)^2+8=9,\qquad f(0)=8,\qquad f(1)=9.$$

Также нули функции:

$$-x^4+2x^2+8=0$$
$$x^4-2x^2-8=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-2t-8=0,$$
$$D=36,\qquad t_1=4,\quad t_2=-2.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ получаем только
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

Следовательно, график функции проходит через точки $$(-2,0),\ (0,8),\ (2,0)$$ и имеет максимумы в точках $$(-1,9)$$ и $$(1,9),$$ минимум в точке $$(0,8).$$

Так как наибольшее значение функции равно $$9,$$ уравнение

$$-x^4+2x^2+8=a$$

не имеет корней при $$a>9.$$