Упр.45.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Постройте график функции $$y=x^4-2x^2+3$$. б) При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$x^4-2x^2+3=a$$ имеет три корня?

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-2x^2+3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty,-1)\cup(0,1),$$

$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-1,0)\cup(1,+\infty).$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,-1] \cup [0,1]$$ и возрастает на $$[-1,0] \cup [1,+\infty).$$

Найдём значения в критических точках:

$$f(-1)=1-2+3=2,$$

$$f(0)=3,$$

$$f(1)=1-2+3=2.$$

Так как функция чётная, её график симметричен относительно оси $$Oy.$$ Минимумы достигаются в точках $$(-1,2)$$ и $$(1,2),$$ а максимум между ними — в точке $$(0,3).$$

Для построения графика удобно отметить точки $$(-2,11),\;(-1,2),\;(0,3),\;(1,2),\;(2,11).$$

График — симметричная относительно оси $$Oy$$ кривая с двумя минимумами и одним максимумом между ними.

Чтобы уравнение $$x^4-2x^2+3=a$$ имело три корня, прямая $$y=a$$ должна пересекать график функции в трёх точках. Это происходит только при

$$a=3.$$

Ответ: а) график функции описан выше; б) $$a=3.$$