Упр.45.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(\,x\,)’ \sqrt{1-x^2}-x\left(\sqrt{1-x^2}\right)’}{1-x^2} =\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} =\frac{\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} =\frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}.$$

1) Область определения:

$$1-x^2>0,\quad -1<x<1,$$

$$D(f)=(-1;1).$$

2) Чётность:

$$f(-x)=\frac{-x}{\sqrt{1-(-x)^2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-f(x),$$

значит, функция нечётная.

3) Асимптоты:

$$x=-1,\quad x=1.$$

Вертикальные асимптоты. Горизонтальной асимптоты нет, так как функция не определена при $$x\to\pm\infty.$$

4) Монотонность:

На $$(-1;1)$$ имеем $$f'(x)>0,$$ значит, функция возрастает на $$(-1;1).$$

5) Для построения графика можно взять точки:

График проходит через начало координат, симметричен относительно начала координат и имеет вертикальные асимптоты $$x=\pm 1.$$

б) $$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(\,x\,)’ \sqrt{x^2-1}-x\left(\sqrt{x^2-1}\right)’}{x^2-1} =\frac{\sqrt{x^2-1}-x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1} =\frac{\sqrt{x^2-1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1} =-\frac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}.$$

1) Область определения:

$$x^2-1>0,\quad x<-1 \text{ или } x>1,$$

$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$

2) Чётность:

$$f(-x)=\frac{-x}{\sqrt{(-x)^2-1}}=-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=-f(x),$$

значит, функция нечётная.

3) Асимптоты:

$$x=-1,\quad x=1.$$

Кроме того,

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=1,\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=-1.$$

Следовательно, горизонтальные асимптоты: $$y=1$$ при $$x\to+\infty$$ и $$y=-1$$ при $$x\to-\infty.$$

4) Монотонность:

На области определения $$f'(x)<0,$$ значит, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и на $$(1;+\infty).$$

5) Для построения графика можно взять точки:

График состоит из двух ветвей, симметричен относительно начала координат, имеет вертикальные асимптоты $$x=\pm 1$$ и горизонтальные асимптоты $$y=1$$ и $$y=-1.$$

Ответ

а) $$D(f)=(-1;1),$$ функция нечётная, возрастает на $$(-1;1),$$ асимптоты $$x=\pm 1.$$

б) $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ функция нечётная, убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty),$$ асимптоты $$x=\pm 1,$$ $$y=1$$ и $$y=-1.$$