Упр.44.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Изобразите эскиз графика производной функции $$y=f(x)$$, если известно, что данная функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и убывает на промежутке $$(1;+\infty)$$.
   б) Изобразите эскиз графика производной функции $$y=f(x)$$, если известно, что данная функция убывает на луче $$(-\infty;-1]$$, возрастает на отрезке $$[-1;3]$$, убывает на луче $$[3;+\infty)$$.

Производная показывает знак изменения функции:

• если функция возрастает, то $$f'(x)>0$$;
• если функция убывает, то $$f'(x)<0$$;
• в точках перехода от возрастания к убыванию или наоборот производная равна нулю.

а)

Функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и убывает на $$(1;+\infty)$$, значит:

$$f'(x)>0 \text{ при } x<1, \qquad f'(1)=0, \qquad f'(x)<0 \text{ при } x>1.$$

Эскиз графика производной — кривая, которая пересекает ось $$x$$ в точке $$x=1$$, расположена выше оси $$x$$ слева от этой точки и ниже оси $$x$$ справа от неё.

б)

Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;3]$$ и убывает на $$[3;+\infty)$$, значит:

$$f'(x)<0 \text{ при } x<-1, \qquad f'(-1)=0, \qquad f'(x)>0 \text{ при } -1<x<3,$$
$$f'(3)=0, \qquad f'(x)<0 \text{ при } x>3.$$

Эскиз графика производной — кривая, которая пересекает ось $$x$$ в точках $$x=-1$$ и $$x=3$$, выше оси $$x$$ между этими точками и ниже оси $$x$$ вне этого промежутка.

Ответ

а) $$f'(x)>0$$ при $$x<1$$, $$f'(1)=0$$, $$f'(x)<0$$ при $$x>1$$.

б) $$f'(x)<0$$ при $$x<-1$$ и $$x>3$$, $$f'(-1)=0$$, $$f'(3)=0$$, $$f'(x)>0$$ при $$-1<x<3$$.