Упр.44.76 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\arcsin x > x$$, если $$0 < x < 1$$; б) $$\arctg x > x — \frac{x^3}{3}$$, если $$x > 0$$.

Обозначим в каждом пункте соответствующую разность и исследуем её на промежутке, где требуется доказать неравенство.

а)

Рассмотрим функцию $$f(x)=\arcsin x-x.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1.$$

При $$0<x<1$$ имеем $$0<\sqrt{1-x^2}\le 1,$$ значит

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ge 1,$$

следовательно, $$f'(x)\ge 0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ не убывает на $$\left(0,1\right).$$ Тогда

$$f(x)>f(0)=\arcsin 0-0=0.$$

Следовательно, $$\arcsin x-x>0,$$ то есть

$$\arcsin x>x.$$

б)

Рассмотрим функцию $$g(x)=\arctg x-x+\frac{x^3}{3}.$$

Тогда

$$g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-1+x^2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$g'(x)=\frac{1-(1+x^2)+x^2(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{x^4}{1+x^2}.$$

При $$x>0$$ имеем $$x^4\ge 0$$ и $$1+x^2>0,$$ значит $$g'(x)\ge 0.$$ Следовательно, $$g(x)$$ не убывает на $$\left(0,+\infty\right).$$

Тогда

$$g(x)>g(0)=\arctg 0-0+\frac{0^3}{3}=0.$$

Значит,

$$\arctg x-x+\frac{x^3}{3}>0,$$

то есть

$$\arctg x>x-\frac{x^3}{3}.$$

Ответ: а) $$\arcsin x>x$$ при $$0<x<1$$; б) $$\arctg x>x-\frac{x^3}{3}$$ при $$x>0$$.