Упр.44.74 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$y=f(x)$$ постоянна на указанном промежутке и найдите значение этой постоянной:
   а) $$f(x)=2\operatorname{arctg}x+\arcsin\frac{2x}{1+x^2}$$ при $$x>1$$;
   б) $$f(x)=\arccos\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\operatorname{arctg}x$$ при $$x<0$$.

а) Обозначим

$$u=\frac{2x}{1+x^2}, \qquad f(x)=2\arctg x+\arcsin u.$$

Тогда

$$u’=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.$$

Найдём производную второй части:

$$\left(\arcsin u\right)’=\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}.$$

Так как

$$1-u^2=1-\frac{4x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2},$$

то

$$\sqrt{1-u^2}=\frac{|1-x^2|}{1+x^2}.$$

При $$x\ge 1$$ имеем $$|1-x^2|=x^2-1$$, значит

$$\left(\arcsin u\right)’=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\cdot \frac{1+x^2}{x^2-1}=-\frac{2}{1+x^2}.$$

Тогда

$$f'(x)=2\left(\arctg x\right)’+\left(\arcsin u\right)’=\frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+x^2}=0.$$

Следовательно, функция постоянна на промежутке $$x\ge 1$$.

Найдём её значение при $$x=1$$:

$$f(1)=2\arctg 1+\arcsin \frac{2}{1+1^2}=2\cdot \frac{\pi}{4}+\arcsin 1=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.$$

Значит, $$f(x)=\pi.$$

б) Обозначим

$$f(x)=\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\arctg x, \qquad x<0.$$

Пусть

$$u=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=(1+x^2)^{-1/2}.$$

Тогда

$$u’=-\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.$$

Производная первой части:

$$\left(\arccos u\right)’=-\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}.$$

Так как

$$1-u^2=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2},$$

то при $$x<0$$

$$\sqrt{1-u^2}=\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Следовательно,

$$\left(\arccos u\right)’=-\frac{-x}{(1+x^2)^{3/2}}\cdot \frac{\sqrt{1+x^2}}{-x}=-\frac{1}{1+x^2}.$$

Тогда

$$f'(x)=-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+x^2}=0.$$

Значит, функция постоянна на промежутке $$x<0$$.

Найдём её значение при $$x=0$$:

$$f(0)=\arccos \frac{1}{\sqrt{1+0^2}}+\arctg 0=\arccos 1+0=0.$$

Следовательно, $$f(x)=0.$$

Ответ

а) $$\pi$$; б) $$0$$.