Упр.44.73 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\arccos\sqrt{1-x^2}=\arcsin x$$
б) $$\arctg x+\arctg\frac{1-x}{1+x}$$
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\arccos\sqrt{1-x^2}-\arcsin x.$$
Проверим отдельно случаи $$0\le x\le 1$$ и $$-1\le x<0$$.
Если $$0\le x\le 1,$$ то $$\sqrt{1-x^2}\in[0,1],$$ и можно записать:
$$\arccos\sqrt{1-x^2}=\arcsin x.$$
Действительно, при $$0\le x\le 1$$ имеем
$$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2},$$
а значит,
$$\arccos\sqrt{1-x^2}=\arcsin x.$$
Если $$-1\le x<0,$$ то $$\arcsin x<0,$$ и
$$\arccos\sqrt{1-x^2}=-\arcsin x.$$
Проверим это через тождество $$\arcsin(-x)=-\arcsin x$$ и равенство $$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}.$$ Тогда
$$\arccos\sqrt{1-x^2}=\arccos(\cos(\arcsin(-x)))=\arcsin(-x)=-\arcsin x.$$
Следовательно,
$$\arccos\sqrt{1-x^2}=\begin{cases} \arcsin x, & 0\le x\le 1,\\ -\arcsin x, & -1\le x<0. \end{cases}$$
б) Рассмотрим функцию
$$f(x)=\arctg x+\arctg\frac{1-x}{1+x}.$$
Найдём её производную при $$x\ne -1$$:
$$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)’}{1+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2}.$$
Вычислим производную дроби:
$$\left(\frac{1-x}{1+x}\right)’=\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}=-\frac{2}{(1+x)^2}.$$
Тогда
$$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{2}{(1+x)^2+(1-x)^2}.$$
Но
$$(1+x)^2+(1-x)^2=2+2x^2=2(1+x^2),$$
значит
$$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0.$$
Следовательно, $$f(x)$$ — постоянная на каждом из промежутков $$(-\infty,-1)$$ и $$(-1,\infty).$$
Найдём значение этой постоянной.
При $$x=0$$:
$$f(0)=\arctg 0+\arctg 1=0+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$$
Значит, при $$x>-1$$
$$\arctg x+\arctg\frac{1-x}{1+x}=\frac{\pi}{4}.$$
При $$x=-\sqrt3$$:
$$f(-\sqrt3)=\arctg(-\sqrt3)+\arctg\frac{1+\sqrt3}{1-\sqrt3}.$$
Так как
$$\arctg(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3},\qquad \frac{1+\sqrt3}{1-\sqrt3}=-2-\sqrt3,$$
то
$$\arctg\frac{1+\sqrt3}{1-\sqrt3}=-\frac{5\pi}{12},$$
и потому
$$f(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{12}=-\frac{3\pi}{4}.$$
Следовательно, при $$x<-1$$
$$\arctg x+\arctg\frac{1-x}{1+x}=-\frac{3\pi}{4}.$$
Итак,
$$\arctg x+\arctg\frac{1-x}{1+x}= \begin{cases} \frac{\pi}{4}, & x>-1,\\ -\frac{3\pi}{4}, & x<-1. \end{cases}$$
Ответ: а) $$\arccos\sqrt{1-x^2}=\arcsin x$$ при $$0\le x\le 1,$$ и $$\arccos\sqrt{1-x^2}=-\arcsin x$$ при $$-1\le x<0$$; б) $$\arctg x+\arctg\frac{1-x}{1+x}=\frac{\pi}{4}$$ при $$x>-1$$ и $$-\frac{3\pi}{4}$$ при $$x<-1.$$
