Упр.44.70 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sin 5x — 2\cos x — 8x = x^5 — 2$$;
• б) $$4\cos 3x + 5\sin \frac{x}{2} + 15 = 4 — x^3$$.

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\sin 5x-2\cos x-8x$$ и $$g(x)=x^5-2.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=5\cos 5x+2\sin x-8,$$

$$g'(x)=5x^4.$$

Так как $$5\cos 5x\le 5,$$ $$2\sin x\le 2,$$ то

$$f'(x)\le 5+2-8=-1<0,$$

значит, $$f(x)$$ убывает. Кроме того, $$g'(x)=5x^4\ge 0,$$ значит, $$g(x)$$ неубывает.

Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Проверим $$x=0$$:

$$\sin 0-2\cos 0-8\cdot 0=0-2-0=-2,$$

$$0^5-2=-2.$$

Значит, $$x=0$$ — корень уравнения.

Так как корень единственный, получаем:

Ответ: $$x=0.$$

б) Рассмотрим функции $$f(x)=4\cos 3x+5\sin \frac{x}{2}+15x$$ и $$g(x)=4-x^3.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=-12\sin 3x+\frac{5}{2}\cos \frac{x}{2}+15,$$

$$g'(x)=-3x^2.$$

Так как $$-12\sin 3x\ge -12,$$ $$\frac{5}{2}\cos \frac{x}{2}\ge -\frac{5}{2},$$ то

$$f'(x)\ge -12-\frac{5}{2}+15=\frac{1}{2}>0,$$

значит, $$f(x)$$ возрастает. Кроме того, $$g'(x)=-3x^2\le 0,$$ значит, $$g(x)$$ убывает.

Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Проверим $$x=0$$:

$$4\cos 0+5\sin 0+15\cdot 0=4,$$

$$4-0^3=4.$$

Значит, $$x=0$$ — корень уравнения, и он единственный.

Ответ: $$x=0.$$