Упр.44.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=(x-1)^2(x+2)$$; б) $$y=\frac{256}{9}x(x-1)^3$$; в) $$y=(x+2)^2(x-3)$$; г) $$y=x^3(2-x)$$.

а) $$y=(x-1)^2(x+2)$$

Найдём производную:

$$y=(x^2-2x+1)(x+2)=x^3-3x+2,$$
$$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Знак производной:

$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-1;1).$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1]$$.

Вычислим значения в точках экстремума:

$$y(-1)=(-1-1)^2(-1+2)=4,$$
$$y(1)=(1-1)^2(1+2)=0.$$

Следовательно, $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.

б) $$y=\frac{256}{9}x(x-1)^3$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{256}{9}\Big((x)'(x-1)^3+x\big((x-1)^3\big)’\Big) =\frac{256}{9}\big((x-1)^3+3x(x-1)^2\big).$$

Вынесем общий множитель:

$$y’=\frac{256}{9}(x-1)^2\big((x-1)+3x\big) =\frac{256}{9}(x-1)^2(4x-1).$$

Так как $$\frac{256}{9}>0$$ и $$(x-1)^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$4x-1$$.

Отсюда:

$$y'<0 \text{ при } x<\frac14,\qquad y’>0 \text{ при } x>\frac14.$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty;\frac14]$$ и возрастает на $$[\frac14;+\infty)$$.

В точке $$x=\frac14$$ имеем минимум:

$$y\!\left(\frac14\right)=\frac{256}{9}\cdot\frac14\left(\frac14-1\right)^3 =\frac{256}{36}\cdot\left(-\frac{27}{64}\right)=-3.$$

Следовательно, $$x=\frac14$$ — точка минимума.

в) $$y=(x+2)^2(x-3)$$

Найдём производную:

$$y=(x^2+4x+4)(x-3)=x^3+x^2-8x-12,$$
$$y’=3x^2+2x-8.$$

Решим уравнение $$y’=0$$:

$$3x^2+2x-8=0,$$
$$D=2^2-4\cdot3\cdot(-8)=100,$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm10}{6}.$$

Получаем:

$$x_1=-2,\qquad x_2=\frac43.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то

$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac43;+\infty\right),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in\left[-2;\frac43\right].$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup\left[\frac43;+\infty\right)$$ и убывает на $$\left[-2;\frac43\right]$$.

Найдём значения в точках экстремума:

$$y(-2)=(-2+2)^2(-2-3)=0,$$
$$y\!\left(\frac43\right)=\left(\frac43+2\right)^2\left(\frac43-3\right) =\left(\frac{10}{3}\right)^2\left(-\frac53\right)=-\frac{500}{27}.$$

Следовательно, $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=\frac43$$ — точка минимума.

г) $$y=x^3(2-x)$$

Найдём производную:

$$y=2x^3-x^4,$$
$$y’=6x^2-4x^3=2x^2(3-2x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac32$$.

Так как $$2x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$3-2x$$:

$$y’>0 \text{ при } x<\frac32,\qquad y'<0 \text{ при } x>\frac32.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;\frac32]$$ и убывает на $$[\frac32;+\infty)$$.

В точке максимума:

$$y\!\left(\frac32\right)=\left(\frac32\right)^3\left(2-\frac32\right) =\frac{27}{8}\cdot\frac12=\frac{27}{16}.$$

Значит, $$x=\frac32$$ — точка максимума.

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$; $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.

б) возрастает на $$\left[\frac14;+\infty\right)$$, убывает на $$(-\infty;\frac14]$$; $$x=\frac14$$ — точка минимума.

в) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup\left[\frac43;+\infty\right)$$, убывает на $$\left[-2;\frac43\right]$$; $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=\frac43$$ — точка минимума.

г) возрастает на $$(-\infty;\frac32]$$, убывает на $$[\frac32;+\infty)$$; $$x=\frac32$$ — точка максимума.