Упр.44.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдём производные и исследуем знак производной.
$$y=-x^4+5x^2-4$$
$$y’=-4x^3+10x=2x(5-2x^2)$$
$$2x(5-2x^2)\ge 0$$
Отсюда функция возрастает на $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt{10}}{2}\right]\cup\left[0;\frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\sqrt{10}}{2};0\right]\cup\left[\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty\right).$$
Точки экстремума:
$$x=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$$ — точки максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
$$y=x^5-5x$$
$$y’=5x^4-5=5(x^4-1)=5(x^2-1)(x^2+1)$$
Так как $$x^2+1>0,$$ то
$$y’\ge 0 \iff x^2-1\ge 0 \iff x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1].$$
Точки экстремума:
$$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
$$y=2x^4-9x^2+7$$
$$y’=8x^3-18x=2x(4x^2-9)=2x(2x-3)(2x+3)$$
$$2x(2x-3)(2x+3)\ge 0$$
Отсюда функция возрастает на $$\left[-\frac{3}{2};0\right]\cup\left[\frac{3}{2};+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty;-\frac{3}{2}\right]\cup\left[0;\frac{3}{2}\right].$$
Точки экстремума:
$$x=0$$ — точка максимума, $$x=\pm \frac{3}{2}$$ — точки минимума.
$$y=5x^3-3x^5$$
$$y’=15x^2-15x^4=15x^2(1-x^2)=15x^2(1-x)(1+x)$$
Так как $$15x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$1-x^2.$$ Поэтому
$$y’\ge 0 \iff 1-x^2\ge 0 \iff -1\le x\le 1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
Точки экстремума:
$$x=1$$ — точка максимума, $$x=-1$$ — точка минимума.
Ответ:
а) возрастает на $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt{10}}{2}\right]\cup\left[0;\frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\sqrt{10}}{2};0\right]\cup\left[\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty\right)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$;
в) возрастает на $$\left[-\frac{3}{2};0\right]\cup\left[\frac{3}{2};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;-\frac{3}{2}\right]\cup\left[0;\frac{3}{2}\right]$$;
г) возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.
