Упр.44.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём производные данных функций и исследуем знак производной.

1. $$y=2x^3+x^2-2x-1$$

   $$y’=6x^2+2x-2$$

   Решим уравнение $$6x^2+2x-2=0$$:

   $$3x^2+x-1=0$$

   $$D=1+12=13$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то

   $$y’>0$$ при $$x\in\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{6}\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{6};+\infty\right),$$

   $$y'<0$$ при $$x\in\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6}\right).$$

   Значит, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{6}\right]\cup\left[\frac{-1+\sqrt{13}}{6};+\infty\right)$$ и убывает на $$\left[\frac{-1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6}\right].$$

   $$x=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$$ — точка максимума, $$x=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$$ — точка минимума.

2. $$y=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-\frac{11}{3}$$

   $$y’=-x^2+2x+3$$

   Решим уравнение $$-x^2+2x+3=0$$:

   $$x^2-2x-3=0$$

   $$D=4+12=16$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=3$$

   Тогда

   $$y’>0$$ при $$x\in[-1;3],$$

   $$y'<0$$ при $$x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$

   Следовательно, функция возрастает на $$[-1;3]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$

   $$x=-1$$ — точка минимума, $$x=3$$ — точка максимума.

3. $$y=x^3+x^2-x-1$$

   $$y’=3x^2+2x-1$$

   Решим уравнение $$3x^2+2x-1=0$$:

   $$D=4+12=16$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac13$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то

   $$y’>0$$ при $$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right),$$

   $$y'<0$$ при $$x\in\left[-1;\frac13\right].$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right)$$ и убывает на $$\left[-1;\frac13\right].$$

   $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=\frac13$$ — точка минимума.

4. $$y=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+\frac53$$

   $$y’=x^2+2x-3$$

   Решим уравнение $$x^2+2x-3=0$$:

   $$D=4+12=16$$

   $$x_1=-3,\quad x_2=1$$

   Тогда

   $$y’>0$$ при $$x\in(-\infty;-3]\cup[1;+\infty),$$

   $$y'<0$$ при $$x\in[-3;1].$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-3;1].$$

   $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.

Ответ:

а) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{6}\right]\cup\left[\frac{-1+\sqrt{13}}{6};+\infty\right)$$, убывает на $$\left[\frac{-1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6}\right]$$;

б) возрастает на $$[-1;3]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$;

в) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right)$$, убывает на $$\left[-1;\frac13\right]$$;

г) возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-3;1]$$.