Упр.44.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём производные данных функций и по знаку производной определим промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.

1. $$y=x^3-3x^2+2$$

   $$y’=3x^2-6x=3x(x-2)$$

   $$3x(x-2)\ge 0$$

   Отсюда функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$[0;2]$$.

   $$y(0)=2,\qquad y(2)=8-12+2=-2$$

   Значит, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.

2. $$y=-x^3+4x-3$$

   $$y’=-3x^2+4$$

   $$-3x^2+4\ge 0$$

   $$x^2\le \frac{4}{3},\qquad -\frac{2}{\sqrt3}\le x\le \frac{2}{\sqrt3}$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac{2}{\sqrt3};\frac{2}{\sqrt3}\right]$$ и убывает на $$\left(-\infty;-\frac{2}{\sqrt3}\right]\cup\left[\frac{2}{\sqrt3};+\infty\right)$$.

   $$x=-\frac{2}{\sqrt3}$$ — точка минимума, $$x=\frac{2}{\sqrt3}$$ — точка максимума.

3. $$y=-x^3+4x^2-3$$

   $$y’=-3x^2+8x=x(8-3x)$$

   $$x(8-3x)\ge 0$$

   Отсюда функция возрастает на $$\left[0;\frac{8}{3}\right]$$ и убывает на $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{8}{3};+\infty\right)$$.

   $$y(0)=-3,\qquad y\!\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{512}{27}+\frac{768}{27}-\frac{81}{27}=\frac{175}{27}$$

   Значит, $$x=0$$ — точка минимума, $$x=\frac{8}{3}$$ — точка максимума.

4. $$y=x^3-3x+2$$

   $$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

   $$3(x-1)(x+1)\ge 0$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1]$$.

   $$y(-1)=-1+3+2=4,\qquad y(1)=1-3+2=0$$

   Значит, $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.

Ответ:

• а) возрастает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$; $$x=0$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума;
• б) возрастает на $$\left[-\frac{2}{\sqrt3};\frac{2}{\sqrt3}\right]$$, убывает на $$\left(-\infty;-\frac{2}{\sqrt3}\right]\cup\left[\frac{2}{\sqrt3};+\infty\right)$$; $$x=-\frac{2}{\sqrt3}$$ — точка минимума, $$x=\frac{2}{\sqrt3}$$ — точка максимума;
• в) возрастает на $$\left[0;\frac{8}{3}\right]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{8}{3};+\infty\right)$$; $$x=0$$ — точка минимума, $$x=\frac{8}{3}$$ — точка максимума;
• г) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$; $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.