Упр.44.64 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
a) $$y=3x^2-x^3$$
Найдём производную:
$$y’=(3x^2-x^3)’=6x-3x^2=3x(2-x).$$
Критические точки:
$$3x(2-x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=2.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } 0<x<2,\qquad y'<0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>2.$$
Значит, функция возрастает на $$[0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(0)=0,\qquad y(2)=3\cdot 2^2-2^3=12-8=4.$$
Следовательно, $$x=2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
б) $$y=6x+x^3$$
Найдём производную:
$$y’=(6x+x^3)’=6+3x^2.$$
Так как $$3x^2\ge 0,$$ то $$y’>0$$ при любом $$x.$$
Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.
в) $$y=x^3+3x^2$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3+3x^2)’=3x^2+6x=3x(x+2).$$
Критические точки:
$$3x(x+2)=0 \Rightarrow x=-2 \text{ или } x=0.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>0,\qquad y'<0 \text{ при } -2<x<0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0].$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-2)=(-2)^3+3\cdot(-2)^2=-8+12=4,\qquad y(0)=0.$$
Следовательно, $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
г) $$y=3x-x^3$$
Найдём производную:
$$y’=(3x-x^3)’=3-3x^2=3(1-x^2).$$
Критические точки:
$$3(1-x^2)=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } -1<x<1,\qquad y'<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-1)=3\cdot(-1)-(-1)^3=-3+1=-2,\qquad y(1)=3-1=2.$$
Значит, $$x=1$$ — точка максимума, $$x=-1$$ — точка минимума.
Ответ
а) возрастает на $$[0;2]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty)$$; $$x=2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
б) возрастает на всей числовой прямой.
в) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$; $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
г) возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$; $$x=1$$ — точка максимума, $$x=-1$$ — точка минимума.
