Упр.44.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте её график:
а) $$y=3x^2-4x+5$$;
б) $$y=3+2x-x^2$$;
в) $$y=7-x-2x^2$$;
г) $$y=5x^2-15x-4$$.
а) $$y=3x^2-4x+5$$
$$y’ = 6x-4$$
Найдём промежутки монотонности:
$$6x-4=0,\quad x=\frac23$$
При $$x<\frac23$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает, а при $$x>\frac23$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает.
Координаты вершины:
$$y\!\left(\frac23\right)=3\cdot\frac49-4\cdot\frac23+5=\frac{33}{9}=\frac{11}{3}$$
Следовательно, вершина параболы: $$\left(\frac23;\frac{11}{3}\right)$$, это точка минимума.
Итак, функция убывает на $$(-\infty;\frac23]$$ и возрастает на $$[\frac23;+\infty)$$.
б) $$y=3+2x-x^2$$
$$y’ = 2-2x$$
Найдём промежутки монотонности:
$$2-2x=0,\quad x=1$$
При $$x<1$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает, а при $$x>1$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает.
Координаты вершины:
$$y(1)=3+2\cdot1-1^2=4$$
Следовательно, вершина параболы: $$\left(1;4\right)$$, это точка максимума.
Итак, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$.
в) $$y=7-x-2x^2$$
$$y’=-1-4x$$
Найдём промежутки монотонности:
$$-1-4x=0,\quad x=-\frac14$$
При $$x<-\frac14$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает, а при $$x>-\frac14$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает.
Координаты вершины:
$$y\!\left(-\frac14\right)=7+\frac14-2\cdot\frac1{16}=7+\frac18=\frac{57}{8}$$
Следовательно, вершина параболы: $$\left(-\frac14;\frac{57}{8}\right)$$, это точка максимума.
Итак, функция возрастает на $$(-\infty;-\frac14]$$ и убывает на $$[-\frac14;+\infty)$$.
г) $$y=5x^2-15x-4$$
$$y’=10x-15$$
Найдём промежутки монотонности:
$$10x-15=0,\quad x=\frac32$$
При $$x<\frac32$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает, а при $$x>\frac32$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает.
Координаты вершины:
$$y\!\left(\frac32\right)=5\cdot\frac94-15\cdot\frac32-4=\frac{45}{4}-\frac{45}{2}-4=-\frac{61}{4}$$
Следовательно, вершина параболы: $$\left(\frac32;-\frac{61}{4}\right)$$, это точка минимума.
Итак, функция убывает на $$(-\infty;\frac32]$$ и возрастает на $$[\frac32;+\infty)$$.
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;\frac23]$$, возрастает на $$[\frac23;+\infty)$$; минимум при $$x=\frac23$$.
б) возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; максимум при $$x=1$$.
в) возрастает на $$(-\infty;-\frac14]$$, убывает на $$[-\frac14;+\infty)$$; максимум при $$x=-\frac14$$.
г) убывает на $$(-\infty;\frac32]$$, возрастает на $$[\frac32;+\infty)$$; минимум при $$x=\frac32$$.
