Упр.44.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём производные и исследуем знак производной.

а)

$$y=x-\sin 2x$$

$$y’=(x)’-(\sin 2x)’=1-2\cos 2x.$$

Функция убывает, когда

$$1-2\cos 2x\le 0,$$

то есть

$$\cos 2x\ge \frac12.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Функция возрастает, когда

$$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n.$$

Следовательно,

$$x_{\max}=-\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x_{\min}=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

б)

$$y=x+4\cos \frac{x}{2}$$

$$y’=(x)’+4\left(\cos \frac{x}{2}\right)’=1-2\sin \frac{x}{2}.$$

Функция убывает, когда

$$1-2\sin \frac{x}{2}\le 0,$$

то есть

$$\sin \frac{x}{2}\ge \frac12.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le \frac{x}{2}\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$\frac{\pi}{3}+4\pi n\le x\le \frac{5\pi}{3}+4\pi n.$$

Функция возрастает, когда

$$-\frac{\pi}{3}+4\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+4\pi n.$$

Следовательно,

$$x_{\max}=\frac{\pi}{3}+4\pi n,$$

$$x_{\min}=\frac{5\pi}{3}+4\pi n.$$

Ответ

а) возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right]$$; $$x_{\max}=-\frac{\pi}{6}+\pi n,$$ $$x_{\min}=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

б) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+4\pi n;\,\frac{\pi}{3}+4\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+4\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+4\pi n\right]$$; $$x_{\max}=\frac{\pi}{3}+4\pi n,$$ $$x_{\min}=\frac{5\pi}{3}+4\pi n.$$