Упр.44.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $$y=\sin x-\frac{1}{2}x$$; б) $$y=\frac{x}{2}-\cos x$$; в) $$y=\frac{1}{\sqrt{2}}x+\cos x$$; г) $$y=x-\sin x$$.

Исследуем функцию по производной.

1. а) $$y=\sin x-\frac12 x$$

   $$y’=\cos x-\frac12$$

   Найдём промежутки возрастания и убывания:

   $$\cos x-\frac12\ge 0 \iff \cos x\ge \frac12$$

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Значит, функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точки максимума: $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   Точки минимума: $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

2. б) $$y=\frac{x}{2}-\cos x$$

   $$y’=\frac12+\sin x$$

   Найдём промежутки возрастания и убывания:

   $$\frac12+\sin x\ge 0 \iff \sin x\ge -\frac12$$

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точки максимума: $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

   Точки минимума: $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

3. в) $$y=\frac{1}{\sqrt2}x+\cos x$$

   $$y’=\frac{1}{\sqrt2}-\sin x$$

   Найдём промежутки убывания и возрастания:

   $$\frac{1}{\sqrt2}-\sin x\le 0 \iff \sin x\ge \frac{1}{\sqrt2}$$

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Значит, функция убывает на $$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac{5\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точки максимума: $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

   Точки минимума: $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

4. г) $$y=x-\sin x$$

   $$y’=1-\cos x$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$1-\cos x\ge 0$$

   при любом $$x\in\mathbb R.$$ Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ

а) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right]$$;
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — точки максимума, $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — точки минимума;

б) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right]$$;
$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$ — точки максимума, $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ — точки минимума;

в) убывает на $$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right]$$, возрастает на $$\left[-\frac{5\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]$$;
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$ — точки максимума, $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$ — точки минимума;

г) функция возрастает на всей числовой прямой.