Упр.44.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:
а) $$y=|x^4+1|+|x^4-1|+2x^3$$;
б) $$y=|x^3-8|+|x^3-1|-x^2$$.
Рассмотрим функцию по частям, учитывая знаки выражений под модулем.
а)
$$y=|x^4+1|+|x^4-1|+2x^3.$$
Так как $$x^4+1>0$$ при любом $$x$$, а $$x^4-1\ge 0$$ при $$x\le -1$$ или $$x\ge 1$$, то
$$y= \begin{cases} x^4+1+x^4-1+2x^3=2x^4+2x^3, & x\le -1 \text{ или } x\ge 1,\\ x^4+1-(x^4-1)+2x^3=2+2x^3, & -1<x<1. \end{cases}$$
1) При $$x\le -1$$ или $$x\ge 1$$:
$$y’=8x^3+6x^2=2x^2(4x+3).$$
Критическая точка здесь: $$4x+3=0 \Rightarrow x=-\frac34,$$ но она не принадлежит этому промежутку. Значит, на каждом из промежутков $$(-\infty,-1]$$ и $$[1,+\infty)$$ функция монотонна.
2) При $$-1<x<1$$:
$$y’=6x^2\ge 0,$$ значит, функция возрастает.
В точке $$x=-1$$ слева функция убывает, а справа возрастает, следовательно, это точка минимума. В точке $$x=1$$ функция возрастает по обе стороны, поэтому экстремума там нет.
Итак, $$x=-1$$ — точка минимума.
б)
$$y=|x^3-8|+|x^3-1|-x^2.$$
Нули выражений под модулем: $$x^3-8=0 \Rightarrow x=2,$$ $$x^3-1=0 \Rightarrow x=1.$$ Поэтому
$$y= \begin{cases} x^3-8+x^3-1-x^2=2x^3-x^2-9, & x\ge 2,\\ -x^3+8+x^3-1-x^2=7-x^2, & 1\le x<2,\\ -x^3+8-x^3+1-x^2=-2x^3-x^2+9, & x<1. \end{cases}$$
Найдём производные на каждом промежутке:
$$y’= \begin{cases} 6x^2-2x=2x(3x-1), & x>2,\\ -2x, & 1<x<2,\\ -6x^2-2x=-2x(3x+1), & x<1. \end{cases}$$
1) При $$x>2$$:
$$6x^2-2x=2x(3x-1)>0,$$ значит, функция возрастает.
2) При $$1<x<2$$:
$$y’=-2x<0,$$ значит, функция убывает.
3) При $$x<1$$:
$$y’=-2x(3x+1).$$
Знак производной меняется в точках $$x=-\frac13$$ и $$x=0$$:
- на $$(-\infty,-\frac13)$$ функция убывает;
- на $$(-\frac13,0)$$ функция возрастает;
- на $$(0,1)$$ функция убывает.
Следовательно, $$x=-\frac13$$ — точка минимума, $$x=0$$ — точка максимума. Кроме того, в точке $$x=2$$ функция меняет убывание на возрастание, значит, это тоже точка минимума.
Итак, $$x=-\frac13$$ и $$x=2$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.
