Упр.44.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Производная функции $$y=ax^2+7x+1$$ в точке $$x_0$$ равна $$c$$. Найдите точку экстремума функции и определите, является она точкой максимума или точкой минимума, если:
а) $$x_0=0,5$$, $$c=15$$;
б) $$x_0=3$$, $$c=-5$$;
в) $$x_0=-1$$, $$c=9$$;
г) $$x_0=-0,5$$, $$c=7,1$$.
Найдём производную функции $$y=ax^2+7x+1$$:
$$y’=2ax+7.$$
По условию $$y'(x_0)=c$$, значит
$$2ax_0+7=c,$$
откуда
$$a=\frac{c-7}{2x_0}.$$
$$x_0=0{,}5,\quad c=15.$$
$$a=\frac{15-7}{2\cdot 0{,}5}=8.$$
Тогда $$y’=16x+7.$$
$$16x+7=0 \Rightarrow x=-\frac{7}{16}.$$
Так как коэффициент при $$x$$ положительный, функция убывает при $$x<-\frac{7}{16}$$ и возрастает при $$x>-\frac{7}{16}$$. Значит, $$x=-\frac{7}{16}$$ — точка минимума.
$$x_0=3,\quad c=-5.$$
$$a=\frac{-5-7}{2\cdot 3}=-2.$$
Тогда $$y’=-4x+7.$$
$$-4x+7=0 \Rightarrow x=\frac{7}{4}.$$
Так как коэффициент при $$x$$ отрицательный, функция возрастает при $$x<\frac{7}{4}$$ и убывает при $$x>\frac{7}{4}$$. Значит, $$x=\frac{7}{4}$$ — точка максимума.
$$x_0=-1,\quad c=9.$$
$$a=\frac{9-7}{2\cdot(-1)}=-1.$$
Тогда $$y’=-2x+7.$$
$$-2x+7=0 \Rightarrow x=\frac{7}{2}=3{,}5.$$
Так как коэффициент при $$x$$ отрицательный, функция имеет максимум в точке $$x=3{,}5$$.
$$x_0=-0{,}5,\quad c=7{,}1.$$
$$a=\frac{7{,}1-7}{2\cdot(-0{,}5)}=-0{,}1.$$
Тогда $$y’=-0{,}2x+7.$$
$$-0{,}2x+7=0 \Rightarrow x=35.$$
Так как коэффициент при $$x$$ отрицательный, функция имеет максимум в точке $$x=35$$.
Ответ: а) $$x=-\frac{7}{16}$$ — точка минимума; б) $$x=\frac{7}{4}$$ — точка максимума; в) $$x=3{,}5$$ — точка максимума; г) $$x=35$$ — точка максимума.
