Упр.44.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что заданная функция не имеет ни точек максимума, ни точек минимума:
   а) $$y=\frac{1}{3}x^3+2x^2+4x-12$$;
   б) $$y=-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-3x+9$$;
   в) $$y=\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{3}x^3+x-7$$;
   г) $$y=-x^3-x^5+27$$.

Найдём производные данных функций и исследуем их знак.

1. $$y=\frac13x^3+2x^2+4x-12$$
   
   $$y’ = x^2+4x+4=(x+2)^2$$
   
   Так как $$y’=(x+2)^2\ge 0$$ при всех $$x$$ и равна нулю только при $$x=-2$$, то производная не меняет знак. Следовательно, функция не имеет точек максимума и минимума.
2. $$y=-\frac13x^3+\frac32x^2-3x+9$$
   
   $$y’=-x^2+3x-3=-(x^2-3x+3)$$
   
   Рассмотрим квадратный трёхчлен:
   $$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0.$$ Значит, $$x^2-3x+3>0$$ при всех $$x$$, поэтому
   $$y’<0$$ при всех $$x$$. Производная не меняет знак, следовательно, точек экстремума нет.
3. $$y=\frac15x^5+\frac13x^3+x-7$$
   
   $$y’=x^4+x^2+1$$
   
   Так как $$x^4\ge 0$$ и $$x^2\ge 0$$, то
   $$y’=x^4+x^2+1>0$$ при любом $$x$$.
   Производная всегда положительна, значит, функция не имеет ни точек максимума, ни точек минимума.
4. $$y=-x^3-x^5+27$$
   
   $$y’=-3x^2-5x^4=-(3x^2+5x^4)$$
   
   Поскольку $$3x^2\ge 0$$ и $$5x^4\ge 0$$, то
   $$y’\le 0$$ при всех $$x$$.
   Производная не меняет знак, следовательно, точек экстремума нет.

Ответ: во всех пунктах функция не имеет ни точек максимума, ни точек минимума.