Упр.44.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\arcsin x^2$$; б) $$y=3\operatorname{arcctg}\sqrt{x}$$; в) $$y=\arccos x^2$$; г) $$y=\arctg\sqrt{2x}$$.

а) $$y=\arcsin x^2$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\cdot 2x=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.$$

Область определения функции: $$-1\le x^2\le 1,$$ значит $$-1\le x\le 1.$$

На этом промежутке знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$2x.$$

$$y'<0 \text{ при } x<0,\qquad y’=0 \text{ при } x=0,\qquad y’>0 \text{ при } x>0.$$

Следовательно, при переходе через точку $$x=0$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит в этой точке функция имеет минимум.

б) $$y=3\operatorname{arcctg}\sqrt{x}$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$y’=3\cdot\left(-\frac{1}{1+x}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{3}{2(1+x)\sqrt{x}}.$$

При $$x>0$$ знаменатель положителен, значит

$$y'<0.$$

Функция убывает на всей области определения, поэтому точек экстремума нет.

в) $$y=\arccos x^2$$

Найдём производную:

$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\cdot 2x=-\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.$$

Область определения: $$-1\le x\le 1.$$

Знак производной определяется выражением $$-2x.$$ Тогда

$$y’>0 \text{ при } x<0,\qquad y’=0 \text{ при } x=0,\qquad y'<0 \text{ при } x>0.$$

Значит, в точке $$x=0$$ функция имеет максимум.

г) $$y=\arctg\sqrt{2x}$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{1}{1+2x}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x}}=\frac{1}{(1+2x)\sqrt{2x}}.$$

При $$x>0$$ имеем $$y’>0,$$ значит функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.

Ответ

а) $$x=0$$ — точка минимума;
б) точек экстремума нет;
в) $$x=0$$ — точка максимума;
г) точек экстремума нет.