Упр.44.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=x-2\cos x,\quad x\in[-\pi,\pi]$$; б) $$y=2\sin x-x,\quad x\in[\pi,3\pi]$$.

а) $$y=x-2\cos x,\qquad x\in[-\pi;\pi].$$

Найдём производную:

$$y’=(x)’ — 2(\cos x)’ = 1 + 2\sin x.$$

Критические точки определим из уравнения

$$1+2\sin x=0,$$

откуда

$$\sin x=-\frac12.$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем

$$x=-\frac{5\pi}{6},\qquad x=-\frac{\pi}{6}.$$

Проверим знак производной: при $$x\in\left(-\pi,-\frac{5\pi}{6}\right)$$ имеем $$y'<0,$$ при $$x\in\left(-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{6}\right)$$ — $$y’>0,$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{6},\pi\right)$$ — снова $$y'<0.$$

Значит, в точке $$x=-\frac{5\pi}{6}$$ функция имеет минимум, а в точке $$x=-\frac{\pi}{6}$$ — максимум.

б) $$y=2\sin x-x,\qquad x\in[\pi;3\pi].$$

Найдём производную:

$$y’=2\cos x-1.$$

Критические точки определим из уравнения

$$2\cos x-1=0,$$

откуда

$$\cos x=\frac12.$$

На отрезке $$[\pi;3\pi]$$ получаем

$$x=\frac{5\pi}{3},\qquad x=\frac{7\pi}{3}.$$

Проверим знак производной: при $$x\in\left(\pi,\frac{5\pi}{3}\right)$$ имеем $$y'<0,$$ при $$x\in\left(\frac{5\pi}{3},\frac{7\pi}{3}\right)$$ — $$y’>0,$$ при $$x\in\left(\frac{7\pi}{3},3\pi\right)$$ — $$y'<0.$$

Следовательно, в точке $$x=\frac{5\pi}{3}$$ функция имеет минимум, а в точке $$x=\frac{7\pi}{3}$$ — максимум.

Ответ

а) $$x=-\frac{5\pi}{6}$$ — точка минимума, $$x=-\frac{\pi}{6}$$ — точка максимума.

б) $$x=\frac{5\pi}{3}$$ — точка минимума, $$x=\frac{7\pi}{3}$$ — точка максимума.