Упр.44.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$y=x-2\sqrt{x-2}$$;
- б) $$y=\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}$$;
- в) $$y=4\sqrt{2x-1}-x$$;
- г) $$y=\sqrt{x}+2\sqrt{7-x}$$.
Найдём точки экстремума, исследуя производную и учитывая область определения.
а) $$y=x-2\sqrt{x-2}$$
$$y’ = 1 — 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = 1 — \frac{1}{\sqrt{x-2}}.$$
Для возрастания функции нужно:
$$1-\frac{1}{\sqrt{x-2}}\ge 0,$$
$$\sqrt{x-2}\ge 1,$$
$$x-2\ge 1,$$
$$x\ge 3.$$
Область определения: $$x-2\ge 0,$$ то есть $$x\ge 2.$$
Значит, функция убывает при $$2\le x<3$$ и возрастает при $$x\ge 3$$, поэтому
$$x=3$$ — точка минимума.
б) $$y=\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}$$
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}.$$
Для возрастания функции:
$$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\ge 0,$$
$$\frac{1}{\sqrt{x+1}}\ge \frac{1}{\sqrt{5-x}},$$
$$\sqrt{5-x}\ge \sqrt{x+1},$$
$$5-x\ge x+1,$$
$$4\ge 2x,$$
$$x\le 2.$$
Область определения: $$x+1\ge 0,$$ $$5-x\ge 0,$$ то есть $$-1\le x\le 5.$$
Следовательно, функция возрастает при $$-1\le x\le 2$$ и убывает при $$2\le x\le 5$$, значит
$$x=2$$ — точка максимума.
в) $$y=4\sqrt{2x-1}-x$$
$$y’ = 4\cdot \frac{1}{2\sqrt{2x-1}}\cdot 2 — 1 = \frac{4}{\sqrt{2x-1}}-1.$$
Для возрастания функции:
$$\frac{4}{\sqrt{2x-1}}-1\ge 0,$$
$$\frac{4}{\sqrt{2x-1}}\ge 1,$$
$$4\ge \sqrt{2x-1},$$
$$16\ge 2x-1,$$
$$17\ge 2x,$$
$$x\le 8{,}5.$$
Область определения: $$2x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge 0{,}5.$$
Значит, функция возрастает при $$0{,}5\le x\le 8{,}5$$ и убывает при $$x\ge 8{,}5$$, поэтому
$$x=8{,}5$$ — точка максимума.
г) $$y=\sqrt{x}+2\sqrt{7-x}$$
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{7-x}}.$$
Для возрастания функции:
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{7-x}}\ge 0,$$
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}\ge \frac{1}{\sqrt{7-x}},$$
$$\sqrt{7-x}\ge 2\sqrt{x},$$
$$7-x\ge 4x,$$
$$7\ge 5x,$$
$$x\le 1{,}4.$$
Область определения: $$x\ge 0,$$ $$7-x\ge 0,$$ то есть $$0\le x\le 7.$$
Следовательно, функция возрастает при $$0\le x\le 1{,}4$$ и убывает при $$1{,}4\le x\le 7$$, значит
$$x=1{,}4$$ — точка максимума.
Ответ
а) $$x=3$$ — точка минимума; б) $$x=2$$ — точка максимума; в) $$x=8{,}5$$ — точка максимума; г) $$x=1{,}4$$ — точка максимума.
