Упр.44.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=x+\frac{4}{x}$$

Найдём производную:

$$y’=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}.$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

$$\frac{x^2-4}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2-4=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 2.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется числителем $$x^2-4.$$

При $$|x|>2$$ имеем $$y’>0,$$ а при $$0<|x|<2$$ имеем $$y'<0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-2)$$ и $$(2,+\infty),$$ убывает на $$(-2,0)$$ и $$(0,2).$$

Следовательно, $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.

б) $$y=\frac{x^2+9}{x}=x+\frac{9}{x}$$

Найдём производную:

$$y’=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}.$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Критические точки:

$$\frac{x^2-9}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2-9=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 3.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется числителем $$x^2-9.$$

При $$|x|>3$$ имеем $$y’>0,$$ а при $$0<|x|<3$$ имеем $$y'<0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-3)$$ и $$(3,+\infty),$$ убывает на $$(-3,0)$$ и $$(0,3).$$

Следовательно, $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

Ответ: а) $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума; б) $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.