Упр.44.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=5x^5-3x^3$$

Найдём производную:

$$y’=25x^4-9x^2=x^2(25x^2-9)=x^2(5x-3)(5x+3).$$

Критические точки: $$x=-\frac35,\; x=0,\; x=\frac35.$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$25x^2-9.$$ Тогда

$$y’>0 \text{ при } x<-\frac35 \text{ и } x>\frac35,\qquad y'<0 \text{ при } -\frac35<x<\frac35.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\frac35)\cup(\frac35;+\infty),$$ убывает на $$(-\frac35;\frac35).$$

В точке $$x=-\frac35$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка максимума. В точке $$x=\frac35$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума.

б) $$y=x^4-4x^3-8x^2+13$$

$$y’=4x^3-12x^2-16x=4x(x^2-3x-4)=4x(x+1)(x-4).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;4.$$

Исследуем знак производной:

$$y’>0 \text{ на } (-1;0)\cup(4;+\infty),\qquad y'<0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(0;4).$$

Значит, функция возрастает на $$(-1;0)\cup(4;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1)\cup(0;4).$$

Точка $$x=0$$ — точка максимума, а точки $$x=-1$$ и $$x=4$$ — точки минимума.

в) $$y=x^4-50x^2$$

$$y’=4x^3-100x=4x(x^2-25)=4x(x-5)(x+5).$$

Критические точки: $$x=-5,\;0,\;5.$$

Тогда

$$y’>0 \text{ на } (-5;0)\cup(5;+\infty),\qquad y'<0 \text{ на } (-\infty;-5)\cup(0;5).$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-5;0)\cup(5;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-5)\cup(0;5).$$

Точка $$x=0$$ — точка максимума, а точки $$x=-5$$ и $$x=5$$ — точки минимума.

г) $$y=2x^5+5x^4-10x^3+3$$

$$y’=10x^4+20x^3-30x^2=10x^2(x^2+2x-3)=10x^2(x+3)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-3,\;0,\;1.$$

Так как $$10x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$ Поэтому

$$y’>0 \text{ на } (-\infty;-3)\cup(1;+\infty),\qquad y'<0 \text{ на } (-3;1).$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty),$$ убывает на $$(-3;1).$$

Точка $$x=-3$$ — точка максимума, точка $$x=1$$ — точка минимума.

Ответ: а) возрастает на $$(-\infty;-\frac35)\cup(\frac35;+\infty),$$ убывает на $$(-\frac35;\frac35);$$ максимум при $$x=-\frac35,$$ минимум при $$x=\frac35.$$
б) возрастает на $$(-1;0)\cup(4;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1)\cup(0;4);$$ максимум при $$x=0,$$ минимумы при $$x=-1$$ и $$x=4.$$
в) возрастает на $$(-5;0)\cup(5;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-5)\cup(0;5);$$ максимум при $$x=0,$$ минимумы при $$x=-5$$ и $$x=5.$$
г) возрастает на $$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty),$$ убывает на $$(-3;1);$$ максимум при $$x=-3,$$ минимум при $$x=1.$$