Упр.44.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: а) $$y=2x^2-7x+1$$; б) $$y=3-5x-x^2$$; в) $$y=4x^2-6x-7$$; г) $$y=-3x^2-12x+50$$.

Найдём производные и исследуем их знак.

1. $$y=2x^2-7x+1$$

   $$y’=4x-7$$

   $$4x-7=0,\quad x=\frac{7}{4}$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола ветвями вверх, значит в точке $$x=\frac{7}{4}$$ — минимум.

2. $$y=3-5x-x^2$$

   $$y’=-5-2x$$

   $$-5-2x=0,\quad x=-\frac{5}{2}$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, парабола ветвями вниз, значит в точке $$x=-\frac{5}{2}$$ — максимум.

3. $$y=4x^2-6x-7$$

   $$y’=8x-6$$

   $$8x-6=0,\quad x=\frac{3}{4}$$

   Коэффициент при $$x^2$$ положительный, значит в точке $$x=\frac{3}{4}$$ — минимум.

4. $$y=-3x^2-12x+50$$

   $$y’=-6x-12$$

   $$-6x-12=0,\quad x=-2$$

   Коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, значит в точке $$x=-2$$ — максимум.

Ответ: а) $$x=\frac{7}{4}$$ — точка минимума; б) $$x=-\frac{5}{2}$$ — точка максимума; в) $$x=\frac{3}{4}$$ — точка минимума; г) $$x=-2$$ — точка максимума.