Упр.44.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ заданная функция имеет одну стационарную точку:
   а) $$y=x^3-3ax^2+27x-5$$;
   б) $$y=x^3-3ax^2+75x-10$$?

Стационарные точки функции находятся из условия $$y’=0.$$

1. $$y=x^3-3ax^2+27x-5$$

   Найдём производную:

   $$y’=3x^2-6ax+27.$$

   Чтобы функция имела одну стационарную точку, уравнение $$3x^2-6ax+27=0$$ должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

   $$D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot 27=36a^2-324.$$

   $$36a^2-324=0,$$

   $$a^2=9,$$

   $$a=\pm 3.$$

2. $$y=x^3-3ax^2+75x-10$$

   Найдём производную:

   $$y’=3x^2-6ax+75.$$

   Для одной стационарной точки дискриминант должен быть равен нулю:

   $$D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot 75=36a^2-900.$$

   $$36a^2-900=0,$$

   $$a^2=25,$$

   $$a=\pm 5.$$

Ответ: а) $$a=\pm 3$$; б) $$a=\pm 5$$.