Упр.44.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y=2x^3-3x^2+7$$ возрастает в интервале $$(a-1;\ a+1)$$?
б) При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y=-x^3+3x+5$$ убывает в интервале $$(a;\ a+\frac{1}{2})$$?

а) Найдём производную функции $$y=2x^3-3x^2+7$$:

$$y’=6x^2-6x=6x(x-1).$$

Функция возрастает там, где $$y’\ge 0$$, то есть при $$x\le 0$$ или $$x\ge 1.$$

Чтобы функция возрастала на интервале $$\left(a-1;\,a+1\right),$$ этот интервал должен целиком лежать в области возрастания. Возможны два случая:

$$a+1\le 0 \quad \Rightarrow \quad a\le -1,$$

или

$$a-1\ge 1 \quad \Rightarrow \quad a\ge 2.$$

Следовательно, $$a\le -1$$ или $$a\ge 2.$$

б) Найдём производную функции $$y=-x^3+3x+5$$:

$$y’=-3x^2+3=3(1-x^2)=3(1-x)(1+x).$$

Функция убывает там, где $$y’\le 0,$$ то есть при $$x\le -1$$ или $$x\ge 1.$$

Чтобы функция убывала на интервале $$\left(a;\,a+\frac12\right),$$ этот интервал должен целиком лежать в области убывания. Тогда:

$$a\ge 1$$

или

$$a+\frac12\le -1 \quad \Rightarrow \quad a\le -\frac32.$$

Значит, $$a\le -\frac32$$ или $$a\ge 1.$$

Ответ

а) $$a\le -1$$ или $$a\ge 2$$;

б) $$a\le -\frac32$$ или $$a\ge 1$$.