Упр.44.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y=x^3-3x$$:

1. убывает на отрезке $$[a+1;\,a+3]$$;
2. возрастает на отрезке $$\left[a-\frac{1}{2};\,2a+2\right]$$;
3. убывает на отрезке $$\left[a-3;\,\frac{1}{6}a+\frac{2}{3}\right]$$;
4. возрастает на отрезке $$[a-2{,}5;\,a-0{,}5]$$?

Найдём производную функции $$y=x^3-3x.$$

$$y’=(x^3)’-(3x)’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Так как $$y’>0$$ при $$x<-1$$ и $$x>1,$$ а $$y'<0$$ при $$-1<x<1,$$ то функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1].$$

а)

Функция убывает на отрезке $$[a+1;\,a+3].$$ Значит, этот отрезок должен целиком лежать в промежутке убывания $$[-1;1].$$ Тогда

$$a+1\ge -1,\qquad a+3\le 1.$$

Отсюда

$$a\ge -2,\qquad a\le -2.$$

Следовательно, $$a=-2.$$

б)

Функция возрастает на отрезке $$\left[a-\frac12;\,2a+2\right].$$ Значит, этот отрезок должен целиком лежать в одном из промежутков возрастания:

$$(-\infty;-1]\quad \text{или}\quad [1;+\infty).$$

Рассмотрим два случая.

1. $$\left[a-\frac12;\,2a+2\right]\subset(-\infty;-1].$$

   Тогда

   $$2a+2\le -1,\qquad a-\frac12\le -1.$$

   Получаем

   $$a\le -\frac32,\qquad a\le -\frac12.$$

   Значит, $$a\le -\frac32.$$

2. $$\left[a-\frac12;\,2a+2\right]\subset[1;+\infty).$$

   Тогда

   $$a-\frac12\ge 1,\qquad 2a+2\ge 1.$$

   Отсюда

   $$a\ge \frac32,\qquad a\ge -\frac12.$$

   Значит, $$a\ge \frac32.$$

Итак, $$a\le -\frac32$$ или $$a\ge \frac32.$$

в)

Функция убывает на отрезке $$\left[a-3;\,\frac16a+\frac23\right].$$ Значит, этот отрезок должен лежать в $$[-1;1].$$ Тогда

$$a-3\ge -1,\qquad \frac16a+\frac23\le 1.$$

Решаем неравенства:

$$a\ge 2,\qquad \frac16a\le \frac13,\qquad a\le 2.$$

Следовательно, $$a=2.$$

г)

Функция возрастает на отрезке $$[a-2{,}5;\,a-0{,}5].$$ Значит, этот отрезок должен целиком лежать в промежутках возрастания функции.

Рассмотрим два случая:

1. $$[a-2{,}5;\,a-0{,}5]\subset(-\infty;-1].$$

   Тогда

   $$a-0{,}5\le -1,$$

   откуда

   $$a\le -0{,}5.$$

2. $$[a-2{,}5;\,a-0{,}5]\subset[1;+\infty).$$

   Тогда

   $$a-2{,}5\ge 1,$$

   откуда

   $$a\ge 3{,}5.$$

Итак, $$a\le -0{,}5$$ или $$a\ge 3{,}5.$$

Ответ

а) $$a=-2$$; б) $$a\le -\frac32$$ или $$a\ge \frac32$$; в) $$a=2$$; г) $$a\le -0{,}5$$ или $$a\ge 3{,}5$$.