Упр.44.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
При каких значениях параметра $$b$$ функция убывает на всей области определения:
- $$y=7+bx-x^2-x^3$$;
- $$y=-2\sqrt{x+3}+bx$$;
- $$y=x^3+bx^2+3x+21$$;
- $$y=-2bx+\sqrt{1-x}$$?
Чтобы функция убывала на всей области определения, достаточно, чтобы её производная была неположительной при всех допустимых значениях переменной.
а)
$$y=7+bx-x^2-x^3$$
$$y’=b-2x-3x^2$$
Требуем:
$$b-2x-3x^2\le 0 \quad \text{при всех } x$$
Рассмотрим квадратный трёхчлен $$-3x^2-2x+b$$. Чтобы он был неположительным при всех $$x$$, его ветви должны быть направлены вниз, а дискриминант не должен быть положительным:
$$D=(-2)^2-4\cdot(-3)\cdot b=4+12b\le 0$$
$$12b\le -4$$
$$b\le -\frac13$$
б)
$$y=-2\sqrt{x+3}+bx$$
Область определения: $$x\ge -3$$.
$$y’=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}+b=b-\frac{1}{\sqrt{x+3}}$$
Для всех $$x\ge -3$$ должно выполняться:
$$b-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\le 0$$
Так как $$\frac{1}{\sqrt{x+3}}>0$$, то это возможно только при
$$b\le 0$$
в)
$$y=x^3+bx^2+3x+21$$
$$y’=3x^2+2bx+3$$
Чтобы функция убывала на всей области определения, нужно, чтобы
$$3x^2+2bx+3\le 0 \quad \text{при всех } x$$
Но старший коэффициент равен $$3>0$$, значит при больших $$|x|$$ выражение $$3x^2+2bx+3$$ положительно. Следовательно, такое невозможно ни при каком $$b$$.
г)
$$y=-2bx+\sqrt{1-x}$$
Область определения: $$x\le 1$$.
$$y’=-2b-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$$
Требуем:
$$-2b-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\le 0 \quad \text{при всех } x\le 1$$
Так как $$\frac{1}{2\sqrt{1-x}}>0$$, то достаточно и необходимо, чтобы
$$-2b\le 0$$
$$b\ge 0$$
Ответ
а) $$b\le -\frac13$$; б) $$b\le 0$$; в) ни при каких $$b$$; г) $$b\ge 0$$.
