Упр.44.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Исследуйте на монотонность функцию $$y=f(x)$$ и постройте (схематически) её график:
а) $$f(x)=x^3-3x+2$$;
б) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$;
в) $$f(x)=x^3+6x^2-15x+8$$;
г) $$f(x)=-x^4+8x^2-7$$.
а) $$f(x)=x^3-3x+2,$$
$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=1.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-1;1).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1].$$
Для построения графика найдём значения в точках экстремума:
$$f(-1)=-1+3+2=4,\qquad f(1)=1-3+2=0.$$
б) $$f(x)=x^4-2x^2+1,$$
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-1;0)\cup(1;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1].$$
Значения в точках экстремума:
$$f(-1)=0,\qquad f(0)=1,\qquad f(1)=0.$$
в) $$f(x)=x^3+6x^2-15x+8,$$
$$f'(x)=3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5)=3(x+5)(x-1).$$
Критические точки: $$x=-5,\;1.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-5;1).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-5]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-5;1].$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$f(-5)=-125+150+75+8=108,\qquad f(1)=1+6-15+8=0.$$
г) $$f(x)=-x^4+8x^2-7,$$
$$f'(x)=-4x^3+16x=-4x(x^2-4)=-4x(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(0;2),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-2;0)\cup(2;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Значения в точках экстремума:
$$f(-2)=-16+32-7=9,\qquad f(0)=-7,\qquad f(2)=-16+32-7=9.$$
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1]$$;
б) возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$;
в) возрастает на $$(-\infty;-5]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-5;1]$$;
г) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
