Упр.44.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\begin{cases}2x^3-6x, & x\geqslant -1,\\ x^2+2x+3, & x<-1;\end{cases}$$

б) $$y=\begin{cases}3x^4-4x^3, & x\leqslant 2,\\ -x^2+4x+12, & x>2.\end{cases}$$

а) Рассмотрим обе части функции отдельно.

1) При $$x \ge -1$$ имеем $$y=2x^3-6x.$$ Тогда

$$y’ = 6x^2-6 = 6(x^2-1)=6(x-1)(x+1).$$

Производная неотрицательна при $$x \le -1$$ или $$x \ge 1.$$ С учётом условия $$x \ge -1$$ получаем: функция возрастает на $$[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1].$$

2) При $$x<-1$$ имеем $$y=x^2+2x+3.$$ Тогда

$$y’ = 2x+2 = 2(x+1).$$

Для возрастания нужно $$2x+2 \ge 0,$$ то есть $$x \ge -1,$$ но это не совпадает с областью $$x<-1.$$ Значит, на промежутке $$(-\infty;-1)$$ функция убывает.

Итак, функция а) возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1] \cup [-1;1].$$

б) Рассмотрим обе части функции отдельно.

1) При $$x \le 2$$ имеем $$y=3x^4-4x^3.$$ Тогда

$$y’ = 12x^3-12x^2 = 12x^2(x-1).$$

Производная неотрицательна при $$x \ge 1.$$ С учётом условия $$x \le 2$$ получаем: функция возрастает на $$[1;2]$$ и убывает на $$(-\infty;1].$$

2) При $$x>2$$ имеем $$y=-x^2+4x+12.$$ Тогда

$$y’=-2x+4=2(2-x).$$

Для возрастания нужно $$-2x+4 \ge 0,$$ то есть $$x \le 2,$$ но это не совпадает с областью $$x>2.$$ Значит, на промежутке $$(2;+\infty)$$ функция убывает.

Следовательно, функция б) возрастает на $$[1;2]$$, убывает на $$(-\infty;1] \cup [2;+\infty).$$

Ответ: а) возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1] \cup [-1;1]$$; б) возрастает на $$[1;2]$$, убывает на $$(-\infty;1] \cup [2;+\infty).$$