Упр.44.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$y=\arcsin x^2$$; б) $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}$$; в) $$y=\arccos\sqrt{x}$$; г) $$y=\operatorname{arctg}^2x$$.
Найдём область определения и знак производной для каждой функции.
$$y=\arcsin x^2$$
Область определения: $$x^2\le 1,$$ значит $$x\in[-1;1].$$
Производная:
$$y’=\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\cdot 2x=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак $$y’$$ определяется знаком $$x$$:
$$y’\ge 0 \text{ при } x\ge 0,\qquad y’\le 0 \text{ при } x\le 0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[-1;0].$$
$$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Производная:
$$y’=-\frac{1}{1+x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2(1+x)\sqrt{x}}.$$
При $$x>0$$ производная отрицательна, значит функция убывает на $$[0;+\infty).$$
$$y=\arccos\sqrt{x}$$
Область определения: $$0\le x\le 1.$$
Производная:
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}.$$
На промежутке $$0<x<1$$ имеем $$y'<0,$$ значит функция убывает на $$[0;1].$$
$$y=\operatorname{arctg}^2 x$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$
Производная:
$$y’=2\operatorname{arctg}x\cdot \frac{1}{1+x^2}=\frac{2\operatorname{arctg}x}{1+x^2}.$$
Так как $$1+x^2>0,$$ знак $$y’$$ определяется знаком $$\operatorname{arctg}x$$:
$$y’\ge 0 \text{ при } x\ge 0,\qquad y’\le 0 \text{ при } x\le 0.$$
Значит, функция возрастает на $$[0;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;0].$$
Ответ: а) возрастает на $$[0;1]$$, убывает на $$[-1;0]$$; б) убывает на $$[0;+\infty)$$; в) убывает на $$[0;1]$$; г) возрастает на $$[0;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0].$$
